深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第18讲 正态分布与 分布的关系

正态分布与厂分布的关系 定理44如N(0,1),则2~x2(1) 证∵5~N(0,1),2(x) 2元 令n=2,其概率密度为on(x) 则当x≤0时,qn(x)=0;当x>0时 m()=(√x)+ 9=(-√x) 2 √2z√ 0 k

2 正态分布与G-分布的关系 定理4.4 如x~N(0,1), 则x 2~ 2 (1) 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) 0; 0 , ( ) 2 1 ~ (0,1), ( ) 2 x x x k x e e x x x x x x x x x N x e − − − − = =  + − =  =  =  =       x   x  x x    x 则当 时 当 时 令 其概率密度为 证 

二元正态分布 定义若二元连续型随机变量(n)的联合概率 密度为 P(x, y)=kexp (s2-2/st+t2 2(1-p2) 其中s x-1 y=p k 2I0,02v1-p ,2G1,2,p均为常数,a1>0,2>0,pk1 称(2,m)服从二元正态分布

3 二元正态分布 定义 若二元连续型随机变量(x,)的联合概率 密度为 ( , ) . , , , , , 0, 0,| | 1 2 1 1 , , ( 2 ) 2(1 ) 1 ( , ) exp 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 称 服从二元正态分布 均为常数 其中 x                        − = − = − =       − + − − = k y t x s x y k s st t

指数上的二次型可以写为 2 pst +t'=s-sp+sp-2 pst +t =s2(1-p2)+(t-sp)2 则整个指数上的项可以写为 (t-ps) 22(1-P 即联合概率密度可写为 p(r, y)=kexp 22(1-p2) (t-ps)

4 指数上的二次型可以写为       − − − = − + − − − − + = − + − − + = − + − + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2(1 ) 1 2 ( , ) exp ( ) 2(1 ) 1 2 (1 ) ( ) 2 2 t s s x y k t s s s t s s st t s s s st t            即联合概率密度可写为 则整个指数上的项可以写为

定理4.5二元正态分布的边缘分布为一元正 态分布 + 证q1(x)=q(x,y)d,而因dy=a2l, q21(x)= (t-p) exp 2元 220)}dt +∞o ∫-(-2s) 已 exp dt √2zσ √2丌√1-P 2 2(1-p2) 2 已 2元

5 定理 4.5 二元正态分布的边缘分布为一元正 态分布 2 1 2 1 2 2 ( ) 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2(1 ) ( ) exp 2 1 1 2 1 2(1 ) ( ) 2 exp 2 1 1 ( ) ( ) ( , ) , ,                  − − + − − + − + − =       − − − − =       − − − − + − = = =    x s e dt t s e dt s t s x 证 x x y dy 而因dy dt

同样可证 q2(y)= (y-2)2 exp 2元O2 2 因此,联合概率密度中的参数山1,4,G10分别 是和m的期望值和标准差 还可证明参数就是与m的相关系数

6 同样可证       − = − 2 2 2 2 2 2 2 ( ) exp 2 1 ( )     y y 因此, 联合概率密度中的参数1 ,2 ,1 ,2分别 是x和的期望值和标准差. 还可证明参数就是x与的相关系数

E(2-E5(-Em) √D√Dn +∞ st (t-ps dtds 2IV1-p2 p +∞ (t- ps) =」a√2兀 p dtds √2z1-p exp 2(1-p2) exp ds=p

7             x  x x   =         = −       − − − −         = −       − − − − + − = = − −      + − + − + − + − + − ds s s dtds s s t t s dtds st s t s D D E E E 2 exp 2 2(1 ) ( ) exp 2 2 1 exp 2 2(1 ) ( ) 2 exp 2 1 ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

定理46服从二元正态分布的随机变量(,), 它们独立的充分必要条件是与n的相关系数 p=0. 证因为独立必不相关,因此我们证当生与n不 相关即ρ=0时必相互独立.这时 P(x,y) e 2丌O1O2 (y-2) 2 q1(x)q2(y) 2元 2丌O2

8 定理 4.6 服从二元正态分布的随机变量(x,), 它们独立的充分必要条件是x与的相关系数 =0. 证 因为独立必不相关, 因此我们证当x与不 相关即=0时必相互独立. 这时 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 exp 2 1 ( , ) 1 2 2 ( ) 2 2 ( ) 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 e e x y x y x y x y                 =  =                         − +        −  − = − − − −

定义4.8若连续型随机变量ξ的概率密度(x) 为 n+1 (x)=k1+2 称ξ服从具有n个自由度的分布,简记为(m)

9 定义 4.8 若连续型随机变量x的概率密度(x) 为 , ( ). ( ) 1 2 1 2 n t t n n x x k n 称x服从具有 个自由度的 分布 简记为  + −         = +

定义4.9若连续型随机变量ξ的概率密度(x) 为 71+n2 2 0(x)=1kx2|1+x x>0 0 x<0 称ξ服从具有第一个自由度为n1,第 个自由度为n2的F分布,简记为F(n1,m2)

10 定义 4.9 若连续型随机变量x的概率密度(x) 为 , ( , ). , 0 0 1 0 ( ) 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 n F F n n n x x x n n k x x n n n 个自由度为 的 分布 简记为 称x服从具有第一个自由度为 第二                 + = + − −

1994年经济类研究生试题 设随机变量X的概率密度为 2x0<x<1 f(x)= 0其它 以Y表示X的三次独立重复观察中事件 X≤出现的次数,则P{Y=2} 22

11 1994年经济类研究生试题 } , { 2} _____ 2 1 { 0 2 0 1 ( )  = =      = X P Y Y X x x f x X 出现的次数 则 以 表示 的三次独立重复观察中事件 其它 设随机变量 的概率密度为 1 x 2