清华大学：《微积分》课程教学资源_第三讲（一）无穷小量（续）（二）连续函数

作业P43习题23 10.12(3)(4)(7)(10) P49习题24 9(1)(4)(6) 练习P43习题234.5.8 P49匀题241。2.5 02122

2021/2/20 1 作业 P43 习题 2.3 10. 12(3)(4)(7)(10). P49 习题 2.4 9(1)(4)(6). 练习 P43 习题 2.3 4. 5. 8. P49 习题 2.4 1. 2. 5

第三讲(一)无穷小量(块) (二)连续函数 三个重要关系 二、无穷小量的比较 三、求极限举例 四、函数连续性的定义 2021/2/20 2

2021/2/20 2 第三讲 (一) 无穷小量(续) (二)连续函数 一、三个重要关系 二、无穷小量的比较 三、求极限举例 四、函数连续性的定义

、三个重要关系 1.(无穷小与无穷大 若在自变量的某一个就过程中 f(x)是无穷大则在这个变化过程中 f(x-)是无穷小 2.(极限与无穷小) lim f()=A s f()=A+a(), x→时的无穷小 2021/2/20

2021/2/20 3 1.（无穷小与无穷大） . ( ) 1 ( ) , , , 是无穷小 是无穷大 则在这个变化过程中 若在自变量的某一个变化过程中 f x f x ( ) . lim ( ) ( ) ( ), 其 中 是 当  时的无穷小  → =  = + → x x f x A f x A x x   2.（极限与无穷小） 一、三个重要关系

3无穷大与无界函数 若在自变量的某一个她过程中f(x) 是无穷大则f(x)无界。反之不一定。 例f(x)=xsmx,x→ 句题 两个无穷小量的商是否为无穷小量? 2021/2/20 4

2021/2/20 4 3.无穷大与无界函数 是无穷大 则 无界。反之不一定。 若在自变量的某一个变化过程中 , ( ) , ( ) f x f x 问题： 两个无穷小量的商是否为无穷小量？ [例] f (x) = x sin x, x → 

无穷小量的比较 定义:设在自变量的同一变似程中 f(x)与g(x)都是无穷小 (1)若imf(x)=A≠0,则称当x→时, g(x) f(x)与g(x)是同阶无穷小 特别当im f(r) =1时,称当x→时, x→g(x) f(x)与g(x)是等价无穷小 2021/2/20 记作f(x)~8(x)(x→)<

2021/2/20 5 二、无穷小量的比较 ( ) ( ) . 1 , , ( ) ( ) , lim ( ) ( ) ; 0, , ( ) ( ) (1) lim ( ) ( ) . , 与 是等价无穷小 特 别当 时 称 当 时 与 是同阶无穷小 若 则称当 时 与 都是无穷小 设在自变量的同一变化过程中 f x g x x g x f x f x g x A x g x f x f x g x x x     = → =  → → → 定义： 记作 f (x) ~ g(x) (x →)

(2)若limf(x) =0,则称当x→时, x→g(x) f(x)与g(x)相比是高阶无穷小 记作f(x)=(g(x)(x→). x86=A≠0,则称当→>时 (3)若im f(x) f(x)与g(x)相比是阶无穷小 2021/2/20

2021/2/20 6 ( ) ( ( )) ( ). ( ) ( ) . 0, , ( ) ( ) (2) lim     = → = → → f x g x x f x g x x g x f x x 记 作 与 相比是高阶无穷小 若 则称当 时 ( ) ( ) . 0, , [ ( )] ( ) (3) lim 与 相比是 阶无穷小 若 则称当 时 f x g x k A x g x f x k x a =  → →

符号“。”与“O” (1)若minf(x)=0,则记f(x)=(g(x) x→>x0 (2)若彐M>0,使当x∈N(x0)时,有 f() g(x) ≤M则记成f(x)=O(g(x) X→X 0 若 A,则有f(x)=O(g(x) 2021/2/20 x→x0g(x)

2021/2/20 7 ( ). ( ) ( ( )) ( ) ( ) (2) 0, ( ) , 0 0 * x x M f x O g x g x f x M x N x →  =    则记成 若 使 当 时 有 , ( ) ( ( )) ( ) ( ) lim 0 A f x O g x g x f x x x = = → 若 则 有 0, ( ) ( ( )) ( ) ( ) (1) lim 0 f x g x g x f x x x = =  → 若 则 记 符号“ ”与“O

几个常用的等价无穷小量 x→>0) SInr tanx x arcsinx nx arctan x x xiN a n(1+x)~x 1+x-1~-x 2 2021/2/20

2021/2/20 8 几个常用的等价无穷小量 (x → 0) x x x x e x a x a x x x x x x x x x x 2 1 ln(1 ) ~ 1 1 ~ 1 ~ 1 ~ ln arcsin ~ arctan ~ sin ~ tan ~ + + − − −

等价元穷小量的性质 性质1:设当x→><>时,f(x),g(x)均为 无穷小则∫(x)~g(x)分兮 ∫(x)-g(x)=o(∫(x)) 或f(x)-g(x)=(g(x) 例]当x→0时,sinx~x →sinx=x+o(x) 当x<<时,inx≈x,误差是o(x) 2021/2/20

2021/2/20 9 等价无穷小量的性质 1 ,sin , ( ) sin ( ) [ ] 0 , sin ~ x x x x x x x x x x   当 时 误差是 例 当 时     = + → ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) , ( ) ~ ( ) , ( ), ( ) f x g x g x f x g x f x f x g x x f x g x    − = − =  → 或 无穷小则 性质1： 设 当 时 均 为

性质2:若当x→时,f(x),g(x),f(x), g;(x)均为无穷小且有f(x)~f(x g(x)g(x), lim Ji(x) 存在 则有lmf(x)=mimf(x x→g(x)x→g1(x) lim f(x). lim fi(x) lim &1(r) x→4D g(x) x-a f(x)xad g,(r)xap g(x) →inf(x) f1(x) 108(x)x1(x)价代换 -lim 2021/2/20

2021/2/20 10 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 1 1 1 1 g x g x g x f x f x f x g x f x x→ x→ x→ x→ =   存在， 均为无穷小且 有 若 当 时 ( ) ( ) ( ) ~ ( ), lim ( ) , ( ) ~ ( ), , ( ), ( ), ( ), 1 1 1 1 1 1 g x f x g x g x g x f x f x x f x g x f x x   → 性质2： → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 1 1 g x f x g x f x x→ x→ 则 有 = ( ) 等价代换 ( ) lim ( ) ( ) lim 1 1 0 0 g x f x g x f x x→ x→  =