同济大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第十二章 全微分方程（12.11）高阶微分方程习题课

高阶微分方程彐题课

高阶微分方程 习题课

、主要内容 高阶方程 线性方程解的结构 可降阶方程 待定系数法 二阶常系教线性 方程解的结构 特征根法 f(x)的形式及其 特征方程的根 特解形式 及其对应项

一、主要内容 高阶方程 可降阶方程 线性方程解的结构 二阶常系数线性 方程解的结构 特 征 根 法 特征方程的根 及其对应项 待 定 系 数 法 f(x)的形式及其 特解形式

微分方程解题思路 作变换 分高变量法 非非 变全 一阶方程金微分方程 量微 作 积分因子可分 降 变阶 4常数变易法 分方 换 高程 高阶方程量特征方程法 幂级数解法 待定系数法

微分方程解题思路 一阶方程 高阶方程 分离变量法 全微分方程 常数变易法 特征方程法 待定系数法 非 全 微 分 方 程 非 变 量 可 分 离 幂级数解法 降 阶 作 变 换 作变换 积分因子

1、可降阶的高阶微分方程的解法 (1)y=f(x)型 解法接连积分n次,得通解 (2)y"=∫(x,y)型 特点不显含未知函数y 解法令y=P(x),y=P, 代入原方程,得P=∫(x,P(x)

1、可降阶的高阶微分方程的解法 (1) ( ) ( ) y f x n = 型 解法 接连积分n次，得通解． (2) y = f (x, y) 型 特点 不显含未知函数 y. 解法 令 y = P(x), y = P , 代入原方程, 得 P = f (x,P(x))

(3)y"=∫(y,y)型 特点不显含自变量x 解法令y′=P(x),y"=P 代入原方程,得P=f(y,P) 2、线性微分方程解的结构 (1)二阶齐次方程解的结构: 形如y"+P(x)y+Q(x)y=0(1)

(3) y = f ( y, y) 型 特点 不显含自变量x. 解法 令 y = P(x), , dy dp y = P 代入原方程, 得 f ( y,P). dy dp P = 2、线性微分方程解的结构 （1） 二阶齐次方程解的结构: 形如 y  + P(x) y + Q(x) y = 0 (1)

若y1,y2是解,则y=c1y+c2y2也是解 若y1,y2是两无关解,则y=cy1+c2y2是通解 (2)二阶非齐次线性方程的解的结构 形如y"+P(x)y+Q(x)y=f(x) 非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解 非齐通解=齐通解+非齐特解 若f(x)=f(x)+f2(x)则y=+j2 若=n1+ⅳ是f(x)=f(x)+i2(x)的特解 则,y2分别是f(x),f2(x)的特解

若y1 , y2是解,则y = c1 y1 + c2 y2也是解 若y1 , y2是两无关解,则y = c1 y1 + c2 y2是通解 （2）二阶非齐次线性方程的解的结构: 形如 y  + P(x) y + Q(x) y = f (x) (2) 非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解 非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解 1 2 1 2 若f (x) = f (x) + f (x)则y = y + y 则 分别是 的特解 若 是 的特解 , ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 y y f x f x y = y + jy f x = f x + jf x

3、二阶常系数齐次线性方程解法 形如y(+Py+…+Pn-1y+Pny=f(x) 阶常系数线性微分方程 y+py+y=0 阶常系数齐次线性方程 y"+py+qy=∫(x)二阶常系数非齐次线性方程 解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法

3、二阶常系数齐次线性方程解法 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y P y P y f x n n n n + + + −  + = 形如 −  n阶常系数线性微分方程 y + py + qy = 0 二阶常系数齐次线性方程 y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法

y+py+ay=0 特征方程为r2+pr+q=0 特征根的情况 通解的表达式 实根≠P2 y=Cence 实根r1=n2 y=(C1+C,x)eir 复根r ,2=a士 iB y=e(ci cos Bx+C2 sin Ax)

y + py + qy = 0 特征方程为 0 2 r + pr + q = 特征根的情况 通解的表达式 实根 1 2 r  r 实根 1 2 r = r 复根r1,2 =   i r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 r x y C C x e 2 ( ) = 1 + 2 ( cos sin ) y e C1 x C2 x x    = +

推广:n阶常系数齐次线性方程解法 y+Py++Pmn_y+Pny=0 特征方程为r"+Prn-1+…+P_r+P=0 特征方程的根通解中的对应项 若是k重根r(C+Cx+…+Ck1x4)ex 若是k重共轭(C+Cx+…+Ck1x2)cspx 复根α土j +(Do+Dx++Drxk-)sin Bxle

推广： n 阶常系数齐次线性方程解法 1 0 ( 1) 1 ( ) + + + −  + = − y P y P y P y n n n n  特征方程为 0 1 1 + 1 + + − + = − n n n n r P r  P r P 特征方程的根 通解中的对应项 若是k重根r k rx k (C C x C x )e 1 0 1 1 − + ++ −   j k 复根 若是 重共轭 k x k k k D D x D x x e C C x C x x −  − − − + + + +  + + +  ( )sin ] [( )cos 1 0 1 1 1 0 1 1  

4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法 y"+py+qy=f(x)二阶常系数非齐次线性方程 解法待定系数法 (1)f(x)=e4P(x)型 0A不是根 设j=x'e^gn(x),k=1是单根 2元是重根

4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法 y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 待定系数法. (1) f (x) = e x P m (x)型 y x e Q (x) , m k x 设 =      = 是重根 是单根 不是根    2 1 , 0 k