同济大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第八章 则多元函数微分学（习题课）

多元函数微分学习题课

多元函数微分学 习题课

、主要内容 平面点亮 多元函数概念 和区域 多元函数 极限远箕 的极限 多元连续函数 多元函数 的性质 连续的概念

一、主要内容 平面点集 和区域 多元函数概念 多元函数 极 限 运 算 的极限 多元函数 连续的概念 多元连续函数 的性质

全微分 方向忌数 全微分 概念 为应用 复合函数 高阶偏导数 求导法则 偏导数 全微分形式 概念 隐函数 的不变性 求导法则 微分法在 多元函数的极值 几何上的应用

全微分 概念 偏导数 概念 方向导数 全微分 的应用 复合函数 求导法则 全微分形式 的不变性 高阶偏导数 隐函数 求导法则 微分法在 多元函数的极值 几何上的应用

1、多元函数的极限 说明:(1)定义中P→P的方式是任意的; (2)二元函数的极限运算法则与一元 函数类似 存在性 定义,夹逼定理 不存在 特殊路径、两种方式 求法 运算法则、定义验证、夹逼定理 消去致零因子、化成一元极限等 2、多元函数的连续性 lim f(p)=f(Po) P→)P

1、多元函数的极限 说明：（1）定义中 P → P0 的方式是任意的； （2）二元函数的极限运算法则与一元 函数类似． 存在性 ——定义，夹逼定理 不存在 ——特殊路径、两种方式 求法 ——运算法则、定义验证、夹逼定理 消去致零因子、化成一元极限等 2、多元函数的连续性 lim ( ) ( ) 0 0 f P f P P P = →

3、偏导数概念 定义、求法 偏导数存在与连续的关系 高阶偏导数—纯偏导、混合偏导 4、全微分概念 定义 可微的必要条件可微的充分条件 利用定义验证不可微

3、偏导数概念 定义、求法 偏导数存在与连续的关系 高阶偏导数——纯偏导、混合偏导 4、全微分概念 定义 可微的必要条件 可微的充分条件 利用定义验证不可微

多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续】函数可导 函数可微 偏导数连续

多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导

5、复合函数求导法则 z=∫(u,v),l=u(x,y),ν=ν(x,y) 十 ax au ax ay ax oz a au oz av 2×2法则 ay au ay av ay “分道相加,连线相乘” 法则的推广任意多个中间变量,任意多 个自变量 如何求二阶偏导数

5、复合函数求导法则 z = f (u,v), u = u(x, y), v = v(x, y) x v v z x u u z x z      +      =   y v v z y u u z y z      +      =   22法则 “分道相加，连线相乘” 法则的推广——任意多个中间变量，任意多 个自变量 如何求二阶偏导数

6、全微分形式不变性 无论z是自变量、"的函数或中间变量u、v 的函数,它的全微分形式是一样的 + OL 7、隐函数的求导法则 (1)F(x,y)=0 (2)F(x,y,z)=0 01,≠ z F(x,y,z)=0 ax F,ay F (3) G(x,y,z)=0 (x,y,L,v)=0 G(,y, u, v)=0

6、全微分形式不变性 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的. z u、v u、v dv v z du u z dz   +   = . 7、隐函数的求导法则 (1) F(x, y) = 0 (2) F(x, y,z) = 0    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 (3) G x y z F x y z    = = ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 (4) G x y u v F x y u v z y z x F F y z F F x z = −   = −  

求隐函数偏导数的方法 ①公式法②直接法③全微分法 8、微分法在几何上的应用 (1)空间曲线的切线与法平面 (2)曲面的切平面与法线 求直线、平面的方程 定点(过点)、定向(方向向量、法向量) 曲线:参数式,一般式给出 曲面:隐式、显式给出

①公式法 ②直接法 ③全微分法 8、微分法在几何上的应用 (1) 空间曲线的切线与法平面 (２) 曲面的切平面与法线 求直线、平面的方程 定点（过点）、定向（方向向量、法向量） 曲线：参数式，一般式给出 曲面：隐式、显式给出 求隐函数偏导数的方法

9、方向导数与梯度 定义 计算公式(注意使用公式的条件) 梯度的概念—向量 梯度与方向导数的关系 10、多元函数的极值 极值、驻点、必要条件 充分条件(B2-AC<0 求函数z=f(x,y)极值的一般步骤

10、多元函数的极值 9、方向导数与梯度 定义 计算公式（注意使用公式的条件） 梯度的概念——向量 梯度与方向导数的关系 极值、驻点、必要条件 充分条件 ( 0) 2 B − AC  求函数z = f (x, y)极值的一般步骤：