《微分方程》第十五讲 Liapunov第二方法

Liapunov第二方 法

Liapunov第二方 法

、按装性近佩判定非线性黴分方解的稳定性的缺陷 y 2k+1 丌 y=x+yx +y t y x(2+y2)j0 y=x-ylx+y 线性化系统为: 考虑无阻力数学摆 8 sIn d

一、按线性近似判定非线性微分方程解的稳定性的缺陷 ( ) ( ) ( ) ( )      = =         + = + + + = − + + + sin . 1, sin . sin , 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 r r r x y y x y x y x y x y x x y k         ( ) ( )     = − =      = − + = − − + . 1, . , 2 2 3 2 2 y x y x y r r x y x x y      线性化系统为：    = = − . , y x x y   二、考虑无阻力数学摆      = − = sin . , x l g y x y  

=-7Sma→,y2+8 COSX)=C 取函数 V(x,y=y+o(1-cos x) 2 性质:1.7(00)=0 2.当00 →1y2+3(1-csx)=c(00+,闭曲线收缩到原点 (x()y()=V.(x(O)y()+,(x(G)y()j t a y(sin x(t)+y(sin x()=0

(1 cos ) . 2 1 sin 2 x c l g xdx y l g  ydy = −  + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin ( ) ( )( sin ( )) 0. ( , ) ( , ) ( , ) = + −  = + x t l g y t x t y t l g V x t y t x V x t y t y dt dV x t y t x y   取函数 性质: 2. 0 , \ {0} , ( , ) 0. 1. (0,0) 0.     = x y R V x y V 当  时 0 , . (1 cos ) (0 1) , 2 1 2 闭曲线收缩到原点 为一族闭曲线 且随 → +  + − =   c x c c l g y (1 cos ) 2 1 ( , ) 2 x l g V x y = y + −

从t0到t积分得 V(x(),y(o)=v(x(to),yto)) →相平面上经过曲线(x,y)=(x(0)y(t 上的点轨线将沿此曲线走 思考 dv(x(o),y( 0) dt Liapunovν第二方法思想:构造特殊函数,通过沿方程的轨 线对该函数求全导数的符号来确定方程解的稳定性. 特殊函数 Liapunov函数 Liapunov第一方法:直接把解表示成级数形式

( ( ), ( )) ( ( ), ( )). 0 0 0 V x t y t V x t y t t t = 从 到 积分得 ( ) ( ) . ( , ) ( , ) 0 0 上的点轨线将沿此曲线走  相平面上经过曲线V x y = V x t y t ( ) ( ) 0 ( 0) ? ( , ) :   dt dV x t y t 思考 Liapunov第二方法思想：构造特殊函数，通过沿方程的轨 线对该函数求全导数的符号来确定方程解的稳定性． 特殊函数 Liapunov函数 Liapunov第一方法：直接把解表示成级数形式

Li punoⅴ第二方法的一般理论 dx f( (6.34) dt 其中 ,, x (x) f2( x f(0)=0.f(x)在某区域G:|≤A(A为正常数 有连续偏导数

三、 Liapunov第二方法的一般理论 ( ) (6.34)    f x dt dx =             =             = ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( ) : 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 n n n n n f x x x f x x x f x x x f x x x x x         其中 . (0) 0. ( ) : ( ) 有连续偏导数 f = f x 在某区域G x  A A为正常数 内     

定义假设(x)为在域≤H内定义的一个连续函数 (0)=0.如果在此域内恒有V(x)≥0,则称函数 为常正的,如果对一切x≠0,都有(x)>0,称函数 为定正的如果函数-V是定正(常正,则称函 数是定负(常负)的 函数()通过方程(6.34)的全导数为 av dx,_yaV i Cx, at 例 (x,y)=(x-y)2+y2常正 x,y)=y2+2(1-cosx).定正 V(x, y)=ax+bxy+cy a>0,4aC-b2>0.定正 a0.定负 V(x,y)=y2+」。g(sd,xg(x)>0 定正

( ) . . ( ), , 0, ( ) 0, (0) 0. ( ) 0, : ( ) , 数 是定负 常负 的 为定正的 如果函数 是定正 常正 则称函 为常正的 如果对一切 都有 称函数 如果在此域内恒有 则称函数 定义 假设 为在域 内定义的一个连续函数 V V V x V x V V x V V x x H −   =         . ( ) (6.34) 1 1   = =   =   = n i i i n i i i f x V dt dx x V dt dV 函数V x 通过方程 的全导数为  ( ) 定正 定负 定正 定正 例 常正 ( ) , ( ) 0. 2 1 ( , ) 0, 4 0. 0, 4 0. ( , ) (1 cos ). 2 1 ( , ) ( , ) . 0 2 2 2 2 2 2 2 2 = +       −   −  = + + = + − = − +  V x y y g s ds x g x a ac b a ac b V x y ax bxy cy x l g V x y y V x y x y y x

定理5如果对微分方程组(6,34)可以找到一个定正函数(x) 其通过(634的全导数为常负或恒等于零,则方程 组(634)的零解是稳定的 如果找到一个定正函数(x),其通过(634的全导数 为定负则方程组(634)的零解是渐进稳定的 如果存在一个函数(x)和某非负常数,其通过(634) 的全导数可表为 dt (x)+W(x) 且当=0时,W为定正函数,而当≠0,W为常正函数 或恒等于零;而在x=0的任意小邻域内都至少存在某 个x,使V(x)>0,则方程组(634)的零解是渐进稳定的

, ( ) 0, (6.34) . ; 0 0 , , 0, ( ) ( ) ( ) , (6.34) , (6.34) . ( ), (6.34) (6.34) . (6.34) , 5 (6.34) ( ), 个 使 则方程组 的零解是渐进稳定的 或恒等于零 而在 的任意小邻域内都至少存在某 且当 时 为定正函数 而当 为常正函数 的全导数 可表为 如果存在一个函数 和某非负常数 其通过 为定负 则方程组 的零解是渐进稳定的 如果找到一个定正函数 其通过 的全导数 组 的零解是稳定的 其通过 的全导数 为常负或恒等于零 则方程 定理 如果对微分方程组 可以找到一个定正函数  = =  = + x V x x W W V x W x dt dV dt dV V x dt dV V x dt dV V x            

例考虑二阶微分方程 t OCx y=x+ 取(x,y)=(x2+y2)则 ax+ Co dv >0,(0,0)不稳定 dt 例考虑二阶微分方程 x=a-x) 2x 4 取(x,y)=x"+yn(m,n待定),则有 nX ax-xy)+ny 1(2x2y dt

( ) ( ) 0, 0, (0, 0) . 0, 0, (0, 0) , 0, , (0, 0) , , . 2 1 ( , ) . , 2 2 4 4 3 3            =    = + = +     = + = − + 不稳定 稳定 定负 渐进稳定 取 则 例 考虑二阶微分方程 dt dV dt dV dt dV x y dt dV V x y x y y x y x y x         m x (ax x y ) ny ( x y) dt dV V x y x y m n y x y x ax x y m n m n 1 2 1 4 4 2 2 ( , ) ( , ), 2 . , − − = − + = +     = = − 取 待定 则有 例 考虑二阶微分方程  

amx"-mx"y+2nx y 令m=4,n=2,此时(x,y)为定正函数,且 dy 4e a0.>0.(0.0)不稳定

m m n mx mx y nx y 2 4 =  − + 2 4 . 4, 2, ( , ) 4 x dt dV m n V x y ， =  令 = = 此时 为定正函数 且            =    0, 0, (0, 0) . 0, 0, (0, 0) , 0, , (0, 0) , 不稳定 不稳定 定负 渐进稳定 dt dV a dt dV a dt dV a

定理6如果存在定正函数(x),其通过(634)的全导 数“为常负,但使“(x) a=0的点的集中除零解 x=0外并不包含方程组(634)的整条正半轨线,则方 程组(6.34)的零解是渐进稳定的。 BACK

。 x ， x dt dV x dt dV V x 程组 的零解是渐进稳定的 外并不包含方程组 的整条正半轨线 则方 数 为常负 但使 的点 的集中除零解 定理 如果存在定正函数 其通过 的全导 (6.34) 0 (6.34) 0 ( ) , 6 ( ), (6.34)      = =