黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 积分（5.2）定积分的性质中值定理

第二节定积分的性质 中值定理 基本内容 四二、小结思考题

、基本内容 对定积分的补充规定: b (1)当a=b时,Jf(x)d=0; (2)当a>b时,f(x)dx=-f(x)d 工工工 说明在下面的性质中,假定定积分都存 在,且不考虑积分上下限的大小 上页

对定积分的补充规定: （1）当a = b时， ( ) = 0  b a f x dx ； （2）当a  b时， = − a b b a f (x)dx f (x)dx. 说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小． 一、基本内容

性质11f(x)±g(x)x=f(x)d士g(x)dk 证1f(x)±g(x) =im∑f(5)±g()△r n n =lim∑f()x±lim∑g(5)Ax i=1 =m/(x)g(x) (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) 王页下

证   b a [ f (x) g(x)]dx i i i n i =  f  g x = → lim [ ( ) ( )] 1 0    i i n i =  f x = → lim ( ) 1 0   i i n i  g x = → lim ( ) 1 0   =  b a f (x)dx ( ) .   b a g x dx   b a [ f (x) g(x)]dx=  b a f (x)dx  b a g(x)dx . （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1

上性质24y(x)tx=k(x)dk为常数) 证,0f(x)k=im∑(5)△x =limk∑f(Ax1=klm∑f(5)Ax1 i=1 i=1 b =k f(x)dx 上页

 =  b a b a kf (x)dx k f (x)dx (k 为常数). 证  b a kf (x)dx i i n i = kf x = → lim ( ) 1 0   i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0   i i n i = k  f x = → lim ( ) 1 0   ( ) .  = b a k f x dx 性质2

性质3假设a<c<b /(x)k=/(x)d+/(x 补充:不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立 例若a<b<C, 中/(x)dk=.(x)+(xt 则门f(x)d=(x)dx-/(x)d =f(edx+f(xdx (定积分对于积分区间具有可加性) 上页

 b a f (x)dx   = + b c c a f (x)dx f (x)dx. 补充：不论 a,b,c 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 a  b  c,  c a f (x)dx =  +  c b b a f (x)dx f (x)dx  b a f (x)dx =  −  c b c a f (x)dx f (x)dx ( ) ( ) .   = + b c c a f x dx f x dx （定积分对于积分区间具有可加性） 则 性质3 假设a  c  b

性质4m1cx=x=b-a. 性质5如果在区间[a,bl上f(x)≥0, 则f(x)x≥0.(a<b) 王证f(x)≥0,:f()≥20,(=12…,n △x≥0,∴∑f(,)Ax≥0, =max{△x1,△x2,…,△xn} im∑f(5)Ax=f(x)≥0. 1→01 上页

dx b a   1 dx b a = = b − a. 则 ( )  0  f x dx b a . (a  b) 证  f (x)  0,  ( )  0, i f (i = 1,2,  ,n)   0,  xi ( ) 0, 1      = i i n i f x max{ , , , }  = x1 x2  xn i i n i   f x = → lim ( ) 1 0   ( ) 0.  =  b a f x dx 性质4 性质5 如果在区间[a,b]上 f (x)  0

例1比较积分值2c和”xd的大小 解令f(x)=e-x,x∈[-2,0 0 f(x)>0,;2(e-x)d>0, 0 dx> xdx 2 于是n2c<xt 上页

例 1 比较积分值 e dx x  −2 0 和 xdx  −2 0 的大小. 解 令 f (x) e x, x = − x[−2, 0]  f (x)  0, ( ) 0, 0 2  −  − e x dx x e dx x −  0 2 , 0 2 xdx −  于是 e dx x  −2 0 . 2 0 xdx  − 

性质5的推论: c(1)如果在区间a,b1上f(x)≤g(x) 王则/(xkg(x,(a≤b) 生证f(x)≤g(x,2∴28x)-f(x)≥0 Ig(x)-∫(x)kx≥0, b b g(x)dx-f (x)d≥0, 王于是/(xMsg(x 上页

性质5的推论： 证  f (x)  g(x),  g(x) − f (x)  0,  [ ( ) − ( )]  0,  g x f x dx b a ( ) − ( )  0,   b a b a g x dx f x dx 于是 f x dx b a ( ) g x dx b a  ( ) . 则 f x dx b a ( ) g x dx b a  ( ) . (a  b) （1） 如果在区间[a,b]上 f (x)  g(x)

性质5的推论: (2)S/(ydr(s f(x)de. (a<b) 证-f(x)≤f(x)≤f(x), 庄:-/(x)∫(x)/(xk 王即f(x≤(k 牛说明:1(x)在区间上的可积性是显然的 上页

f x dx b a ( ) f x dx b a  ( ) . (a  b) 证  − f (x)  f (x)  f (x), f (x)dx f (x)dx f (x)dx, b a b a b a    −   即 f x dx b a ( ) f x dx b a  ( ) . 说明： | f (x)|在区间[a,b]上的 可积性是显然的. 性质5的推论： （2）

性质6设M及m分别是函数 f(x)在区间a,b上的最大值及最小值, g m(b-a)sf(x s M(b-a) 斗证msf(x)sM, rmts∫,/(x)s,Mdk, m(b-a)sf(x)k≤M(b-a) (此性质可用于估计积分值的大致范围) 上页

设M及m分别是函数 证  m  f (x)  M, ( ) ,       b a b a b a mdx f x dx Mdx m(b a) f (x)dx M(b a). b a −   −  （此性质可用于估计积分值的大致范围） 则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a −   −  . f (x)在区间[a,b]上的最大值及最小值， 性质6