温州大学：《高等代数》课程教学资源（PPT课件）第二章 行列式（2.6）行列式的计算

§2.6行列式的计算

§2.6 行列式的计算

对一般的数字行列式,如果它的元素之间没有特定的规律, 其计算方法是 1)利用行列式性质把它化为上三角或下三角行列式,则 行列式的值等于其主对角线上元素的连乘积; 2)选定某一行(列),利用行列式性质把其中元素尽可 能多的化为0;然后按这一行(列)展开,如此继续下去 可得结果。 如果行列式的元素之间有某种规律,特别是含字母或式子 的行列式,则需根据不同情况采用不同方法加以计算,这 方面的计算颇有技巧性,下面介绍一些典型方法。 第二章行列式

第二章 行列式 ⚫ 对一般的数字行列式，如果它的元素之间没有特定的规律， 其计算方法是： 1）利用行列式性质把它化为上三角或下三角行列式，则 行列式的值等于其主对角线上元素的连乘积； 2）选定某一行（列），利用行列式性质把其中元素尽可 能多的化为0；然后按这一行（列）展开，如此继续下去 可得结果。 ⚫ 如果行列式的元素之间有某种规律，特别是含字母或式子 的行列式，则需根据不同情况采用不同方法加以计算，这 方面的计算颇有技巧性，下面介绍一些典型方法

各行(列)倍数总加法 例2.61:计算D 解 从第2/+(n a x+(n-a x+(n-ba x+(n-1)a 到第n行每 n行乘以1加 到第1行 a x a x+(n 第二章行列式

第二章 行列式 一、各行（列）倍数总加法 例2.6.1：计算 n x a a a a x a a D a a a x = 解： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 n-1 n-1 n-1 n-1 n n x a x a x a x a a x a a D a a a x + + + + = 从第 行起 到第 行每 行乘以1加 到第1行 ( ) 1 1 1 1 1 a x a a x n a a a a x = + −    

用-a乘第一行 0 分别加到第二行 第三行,…,第n行 x+(n-1)d]00x-a 00 x-a [x+(n-1)la](x-a) 211 2 练习1计算Dn 2 第二章行列式

第二章 行列式( ) 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 a n x a x n a x a x a − − = + −   −   − 用 乘第一行 分别加到第二行 第三行，…，第 行 ( ) ( ) 1 1 n x n a x a − = + − −     练习1 计算 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 Dn =

二、逐行(列)倍数依次相加法 10 00 例262计算Dn 000 x (依次把第n列,第n-1列,…,第2列乘x加到第η-1列,…2,1列) 、递推法 例2.6.3计算范德蒙行列式 第二章行列式

第二章 行列式 二、逐行（列）倍数依次相加法 例2.6.2 计算 1 2 2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 n n n n x x D x a a a a x a − − − − = − + （依次把第n列，第n-1列，…，第2列乘x加到第n-1列，… 2，1列） 三、递推法 例2.6.3 计算范德蒙行列式 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n a a a a D a a a a a a a a − − − − − − − =

解: 依次从第n-1行起到 第一行,每行乘以 n(an)加到下一行 a1(a1 1 n+1 2 -a, 第二章行列式

第二章 行列式 解： 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 (-a ) n 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 依次从第n-1行起到 第一行，每行乘以 加到下一行 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − + − − − − − − − − − − − − − − = − − − − − − −

n+1 2 C -2 i=I(n-a D 1(-1-4)D a -a i=1 1≤i<i≤ 第二章行列式

第二章 行列式 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n i n n i n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a − − − + − − − = − − − − − − − = − −  − ( ) 1 1 1 n n i n i a a D − − = =  − ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 n n n i n i n i i a a a a D − − − − = = =  −  − = ( ) ( ) 1 2 3 1 1 1 2 n 1 1 n i i i i a a a a a a − = = =  −  − ( ) 1 j i i j n a a    =  −

四、加边法 x+a 例264计算D a1 x+a2 a3 x+a 0x+ 解:D x+a +1 第1行乘以( 1x00 0 分别加到第2 10x0 0 第3行,…,第n行 1000 X n+1 第二章行列式

第二章 行列式 四、加边法 例2.6.4 计算 1 2 3 1 2 3 1 2 3 n n n n x a a a a a x a a a D a a a x a + + = + 解： 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 0 0 0 n n n n n n a a a a x a a a a D a x a a a a a a x a + + = + + ( ) 123 1 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 n n a a a a x x x + − = − − 第 行乘以 -1 分别加到第 行 第3行，，第n行

+∑ 当x≠0 0 X 0 分别用乘第2,3,…,n 0 列加到第1列 000 x"|1+ x=0时,Dn=0 ∑a,故D=x+x2a 第二章行列式

第二章 行列式 123 1 0 1 2 3 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n i n i x n x n a a a a a x x x x =  + + =  当 分别用 乘第 ，，， 列加到第1列 1 1 n n i i a x = x   = +      1 1 n n n i i x x a − = = +  当 x = 0 时， 1 1 0 , n n n n i i D x x a − = = = +  故 1 1 n n n n i i D x x a − = = + 

五、归纳法 例26.75计算 cos a 0 1 2 cos a coS a 0 0 1 2 cosa 解: D=/cos a 1 2cos 第二章行列式

第二章 行列式 五、归纳法 例2.6.75 计算 cos 1 0 0 0 1 2cos 1 0 0 0 1 2cos 0 0 0 0 0 1 2cos Dn     = 解： 2 cos 1 1 2cos D   =