温州大学：《高等代数》课程教学资源（PPT课件）第二章 行列式（2.5）行列式依行（列）展开

§2.5行列式依行(列)展开

§2.5 行列式依行（列）展开

上一节我们利用行列式的性质把一个行列式化为上三角 或下三角行列式,然后根据定义算出行列式的值,或者把 个行列式化成其中含有尽量多个零的行列式,然后算出行列 式的值。本节我们沿着另一条思路来计算行列式的值,即通 过把高阶行列式转化为低阶行列式来计算行列式的值 例如|a 13 22 32 33 =a31(a2a23-a13a2)a2(a1a23-a13a21)+a3(a1a2-a12a21) 13 2 31 第二章行列式

第二章 行列式 上一节我们利用行列式的性质把一个行列式化为上三角 或下三角行列式，然后根据定义算出行列式的值，或者把一 个行列式化成其中含有尽量多个零的行列式，然后算出行列 式的值。本节我们沿着另一条思路来计算行列式的值，即通 过把高阶行列式转化为低阶行列式来计算行列式的值。 例如 ( ) ( ) ( ) 11 12 13 21 22 23 31 32 33 31 12 23 13 22 32 11 23 13 21 33 11 22 12 21 a a a a a a a a a = − − − + − a a a a a a a a a a a a a a a 12 13 11 13 11 12 31 32 33 22 23 21 23 21 22 a a a a a a a a a a a a a a a = − +

=a123-a1a232-a12213+a12a23431+c13221432-413l22 22 +a 33 如果我们能把n阶行列式转化为n-1阶行列式,把n-1阶行列 式转化为n-2阶,…,而行列式的阶数越小越容易计算,我们 就可以化繁为简,化难为易,从而尽快算出行列式的值 为了这个目的,我们需引进如下概念: 余子式和代数行列式 定义1(余子式):在一个n阶行列式D中,划去元素a所在的 行和列,余下的元素构成一个n1阶子式,称为元素an 的余子式,记为M 第二章行列式

第二章 行列式 22 23 21 23 21 22 11 12 13 32 33 31 33 31 32 a a a a a a a a a a a a a a a = − + 11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 = − − + + − a a a a a a a a a a a a a a a a a a 如果我们能把n阶行列式转化为n-1阶行列式，把n-1阶行列 式转化为n-2阶，…，而行列式的阶数越小越容易计算，我们 就可以化繁为简，化难为易，从而尽快算出行列式的值。 为了这个目的，我们需引进如下概念： 一、余子式和代数行列式 定义1（余子式）：在一个n阶行列式 D n 中，划去元素 ij a 所在的 行和列，余下的元素构成一个n-1阶子式，称为元素 ij a 的余子式，记为 Mij

称为元素的代数余子式,记为 定义2(代数余子式):an的余子式M附以 号(-1) 1+J 后, 例251在行列式D=8Cd b p q 中,求元素p和s的余子式 w x y 2 和代数余子式。 行列式依行(列)展开 先考虑比较特殊的情况,即一个n阶行列式中某一行(列) 除一个元素外,其余元素都为零的情况,这时有以下引理 第二章行列式

第二章 行列式 定义2（代数余子式）： ij a 的余子式 Mij 附以符号 ( 1) i j + − 后， 称为元素 ij a 的代数余子式，记为 Aij 。 ( 1) i j A M ij ij + = − 例2.5.1. 在行列式 a b c d g h p q D s t u v w x y z = 中，求元素p和s的余子式 和代数余子式。 二、行列式依行（列）展开 先考虑比较特殊的情况，即一个n阶行列式中某一行（列） 除一个元素外，其余元素都为零的情况，这时有以下引理

引理:如果行列式D=an1 an中,第行(或第 列)中元素除了an外其余都是零,则D=a4 证明: 1、D中第一行元素除a1外其余皆为零,这时 0 D ∑(-1) 112j2 第二章行列式

第二章 行列式 引理：如果行列式 11 1 1 1 1 j n i ij in n nj nn a a a D a a a a a a = 中，第i行（或第j 列）中元素除了 ij a 外其余都是零，则 . D a A = ij ij 证明： 1、D中第一行元素除 11 a 外其余皆为零，这时 ( ) ( 2 ) 2 2 11 21 22 2 1 11 2 1 1 2 0 0 1 n n n n j j j nj j j n n nn a a a a D a a a a a a  = = − 

∑( 2 L 33 114111 2、假设D中第行除a,外其余皆为零,这时 D=0 0 0 第二章行列式

第二章 行列式 ( ) ( 2 ) 2 2 11 2 1 n n n j j j nj j j a a a  = −  22 23 2 32 33 3 11 2 3 n n n n nn a a a a a a a a a a = ( ) 1 1 11 11 a M 1 + = − 11 11 = a A 2、假设D中第i行除 ij a 外其余皆为零，这时 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 j j j n ij n nj nj nj nn a a a a a D a a a a a a − + − + =

此时M M nI a +1 把D中的第依次与第i-1行,第ⅰ-2行,…,第1行对换, 再把第j列依次与第j-1列,第j-2列,…,第1列对换,这样共 经过(i-1)+(j-1)次行与列的对换,则D转化为D 注意到行列式中任两行(列)的对换改变行列式的符号,故 D (-1)+(j-1) 1+J 第二章行列式

第二章 行列式 此时 11 1 1 1 1 1 1 1 1 , j j n ij n nj nj nn a a a a M a a a a − + − + = ( 1) i j A M ij ij + = − 把D中的第i行依次与第i-1行，第i-2行，…，第1行对换， 再把第j列依次与第j-1列，第j-2列，…，第1列对换，这样共 经过（i-1）+（j-1）次行与列的对换，则D转化为 D1 1 1 0 0 ij j ij ij ij nj a a D a M M a = = 注意到行列式中任两行（列）的对换改变行列式的符号，故 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 i j i j D D a M a A ij ij ij ij − + − + = − = − =

3、行列式依行(列)展开 定理2.5.1行列式D等于它的任意一行(列)中所有元素与 其代数余子式乘积的和,即有 Dn=a1A1+a12A2+…+ann,1≤i≤n 或D +a +anA,1≤j≤ 12 证 il i2 12 =(an+0+…+00+a2 0+…+a 第二章行列式

第二章 行列式 3、行列式依行（列）展开 定理2.5.1 行列式 D n 等于它的任意一行（列）中所有元素与 其代数余子式乘积的和，即有 1 1 2 2 , D a A a A a A n i i i i in in = + + + 1 ,  i n 或 1 1 2 2 , D a A a A a A n j j j j nj nj = + + + 1 .  j n 证： 11 12 1 1 2 1 2 n n i i in n n nn a a a D a a a a a a = 11 12 1 1 2 1 2 0 0 0 0 0 n i i in n n nn a a a a a a a a a = + + + + + + + +

12 12 12 0|+0 1A1+a1242+…+a 12 定理2.52.行列式D 中,某一行(列)中元素 与另一行(列)中对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即有 第二章行列式

第二章 行列式 11 12 1 11 12 1 11 12 1 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 n n n i i in n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + + 1 1 2 2 . i i i i in in = + + + a A a A a A 定理2.5.2. 行列式 11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in n j j jn n n nn a a a a a a D a a a a a a = 中，某一行（列）中元素 与另一行（列）中对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即有

an1A1+a242+…+ a. A=0,≠ a1A1+a242+…+an4n=0, s≠t 2 2 考察行列式Dn 0然后按第行展开即知 310 1062 例2.52计算行犬D=101 3-20 第二章行列式

第二章 行列式 1 1 2 2 0, i j i j in jn a A a A a A + + + = i j  . 1 1 2 2 0, s t s t ns nt a A a A a A + + + = s t  . 考察行列式 11 12 1 1 2 1 2 1 2 0 n i i in n i i in n n nn a a a a a a D a a a a a a = = 然后按第j行展开即知。 例2.5.2. 计算行列式 4 3 1 0 2 1 0 6 2 1 0 1 1 3 2 0 1 D − = − −