中央财经大学：《数学复习指南》第一章 随机事件和概率

第一章随机事件和概率 填空题 1.设A,B,C为三个事件,且P(A∪B)=09,P(A∪B∪C)=0.97,则P(AB-C)= 解 P(AB-C)=P(AB- ABC)=P(AB)-P(ABC)=1-P(AB)-1+ P(ABC) =P(A∪B∪C)-P(A∪B)=0.97-09=0.07 2.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格品,另一件 也是不合格品的概率为 解.A={二件产品中有一件是不合格品},B={二件都是不合格品 P(B1A)=P(AB)_P(B)CIa P(A P(A) 注意:{二件产品中有一件是不合格品}={二件产品中恰有一件是不合格品} +{二件都是不合格品} 所以A→B,AB=B;A={二件都是合格品} 3.随机地向半圆0<y<√2ax-x2(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域 的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于z的概率为 解.假设落点(X,Y)为二维随机变量,D为半圆.则 P(CX,Y)∈D)=k:m2=1,k为比例系数.所以k 假设D1={D中落点和原点连线与x轴夹角小于的区域} P(X,y)∈D)=kxD的面积2(1m2+a2)=1+1 Ta-4 2 2丌 4.设随机事件A,B及其和事件AUB的概率分别是04,0.3,0.6,若B表示B的对立事件,则积事件 AB的概率P(AB)= 解.P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.4+0.3-0.6=0.1 P(AB)=P(A)-P(AB)=04-0.1=03 5.某市有50%住户订日报,有65%住户订晚报,有85%住户至少订这两种报纸中的一种,则同时订 这两种报纸的住户的百分比是 解.假设A={订日报},B={订晚报},C=A+B 由已知P(A)=0.5,P(B)=065,PC)=0.85 所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.5+0.65-0.85=0.3 6.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,则这 三台机器中至少有一台发生故障的概率 解.设A事件表示第i台机器运转不发生故障(i=1,2,3)

第一章 随机事件和概率 一.  填空题 1.  设 A, B, C 为三个事件,  且 P (A » B ) = 0. 9, P (A » B » C) = 0. 97, 则P (AB - C) = ____.  解.  P(AB - C) = P (AB - ABC) = P (AB ) - P (ABC) = 1- P (AB ) - 1+ P (ABC) = P(A » B » C)－ P(A » B ) = 0.97－0.9 = 0.07  2.  设 10 件产品中有 4 件不合格品,  从中任取两件,  已知所取两件产品中有一件是不合格品,  另一件 也是不合格品的概率为_______.  解.  A = { 二件产品中有一件是不合格品 } ,  B = {二件都是不合格品}  5  1  1  ( ) ( ) ( ) ( ) ( |  ) 2 10 2 6 2 10 2 4 = - = = = c  c  c  c  P A P B P A P AB P B A 注意:  { 二件产品中有一件是不合格品 } = { 二件产品中恰有一件是不合格品 }  + {二件都是不合格品 }  所以 A … B, AB = B ;  A = {二件都是合格品} 3.  随机地向半圆0  y 2 ax  x  (a  2 < < - 为正常数)内掷一点,  点落在半圆内任何区域的概率与区域 的面积成正比,  则原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于 4 p 的概率为______.  解.  假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆.  则 1 2 1 (( ,  ) ) 2 P X  Y  Œ D = k  pa = , k 为比例系数.  所以 2 2 a k p = 假设 D1 = {D 中落点和原点连线与 x 轴夹角小于 4 p 的区域} p p p 1 2 1 ) 2 1 4 1 ( 2 (( ,  ) ) 2 2 1 1 2 Œ = ¥ = a + a = + a P  X  Y  D k  D 的面积 .  4.  设随机事件 A, B 及其和事件 A»B 的概率分别是 0.4, 0.3, 0.6,  若 B 表示 B 的对立事件,  则积事件 AB 的概率 P(A B ) = ______.  解. P(AB) = P(A) + P(B) - P(A + B) = 0.4 + 0.3－0.6 = 0.1  P(A B ) = P (A ) - P (AB ) = 0. 4 - 0. 1 = 0. 3.  5.  某市有 50%住户订日报,  有 65%住户订晚报,  有 85%住户至少订这两种报纸中的一种,  则同时订 这两种报纸的住户的百分比是________.  解.  假设 A = {订日报}, B = {订晚报}, C = A + B.  由已知 P(A) = 0.5,  P(B) = 0.65, P(C) = 0.85.  所以 P(AB) = P(A) + P(B)－P(A + B) = 0.5 + 0.65－0.85 = 0.3.  6.  三台机器相互独立运转,  设第一,  第二,  第三台机器不发生故障的概率依次为 0.9, 0.8,  0.7,  则这 三台机器中至少有一台发生故障的概率________.  解.  设 Ai 事件表示第 i 台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3)

则P(A1)=0.9,P(A2)=0.8,P(A3)=0.7 P(A1+A2+A3)=P(A1A2A3)=1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3) =1-0.9×0.8×0.7=0.496 7.电路由元件A与两个并联元件B,C串联而成,若A,B,C损坏与否相互独立,且它们损坏的概率 依次为0.3,0.2,0.1,则电路断路的概率是 解.假设事件A,B,C表示元件A,B,C完好 P(A)=0.7,P(B)=0.8,P(C)=0.9.事件线路完好=A(B+C)=AB+AC P(A(B+C))=P(AB+ AC)=P(AB)+(AC)-P(ABC)=P(A)P(B)+ P(A)P(C)-P(A)P(B)P(C) =0.7×0.8+0.7×0.9-0.7×0.8×09=0686. 所以P(电路断路)=1-0.686=0314 8.甲乙两人投篮,命中率分别为07,0.6,每人投三次,则甲比乙进球多的概率 解.设X表示甲进球数,Y表示乙进球数 P(甲比乙进球多)=P(X=3,Y=2)+P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=0) +P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=0)+P(X=1,Y=0) =P(X=3)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=0) +P(X=2)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=0) 073c3·040.62+0.73·c3.0.42.06+073.0.43 +c1.0.3.0.72.c.06.042+cl.0.3.0.72.0.43+cl.0.7.0.32.043 0.148176+0.098784+0.021952+0.127008+0.028224+0.012096 0.43624 9.三人独立破译一密码。他们能单独译出的概率分别为11.1,则此密码被译出的概率 解设ABC表示事件甲,乙,丙单独译出密码,则P(A)=,P(B)=3s P(A+B+C)=P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+ P(ABC) P(A)+P(B)+ P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)+ P(A)P(B)P(C) l111 l1111113 354345345 二.单项选择题 1.以A表示“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则对立事件A为 (A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”(B)“甲、乙产品均畅销” (C)“甲种产品滞销” (D)“甲产品滞销或乙产品畅销” 解.(D)是答案 2.设A,B,C是三个事件,与事件A互斥的事件是 (A)AB+ AC(B)A(B+C)(C)ABC(D)A+B+C 解.A(A+B+C)=AABC=中所以(D)是答案 3.设A,B是任意二个事件,则 (A)P(AUB)P(AB)2)P(B) (B)P(A∪B)P(AB)≤P(A)P(B) (C)P(A-B)P(B-A)SP(A)(B)-P(AB)(D)(A-B)P(B-A)> Af P(A+ B)P(AB)P(A)P(B)=(P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)-P(A)P(B) =-P(A)(P(B)-P(AB))+ P(AB)(P(B)-P(AB) =-(P(B)-P(AB)(P(A)-P(AB)) P(B-A)P(A-B)≤0 所以(B)是答案 4.事件A与B相互独立的充要条件为

则 P(A1) = 0.9,  P(A2) = 0.8,  P(A3) = 0.7,  ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) P A 1 + A 2 + A 3 = P  A 1A 2 A 3 = - P  A 1A 2 A 3 = - P  A 1 P  A 2 P  A 3 =1－0.9×0.8×0.7=0.496.  7.  电路由元件 A 与两个并联元件 B, C 串联而成,  若 A, B, C 损坏与否相互独立,  且它们损坏的概率 依次为 0.3, 0.2, 0.1,  则电路断路的概率是________.  解.  假设事件 A, B, C 表示元件 A, B, C 完好.  P(A) = 0.7,  P(B) = 0.8,  P(C) = 0.9.  事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC.  P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)－P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)－P(A)P(B)P(C) = 0.7×0.8 +0.7×0.9－0.7×0.8×0.9 = 0.686.  所以 P(电路断路) = 1－0.686 = 0.314.  8.  甲乙两人投篮,  命中率分别为 0.7, 0.6,  每人投三次,  则甲比乙进球多的概率______.  解.  设 X 表示甲进球数, Y 表示乙进球数.  P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0) + P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0) = × × × + 1 2 3 3 0. 7 c 0. 4 0. 6 0. 7 × × 0. 4 × 0. 6 + 2 2 3 3 c 3 3 0.7  × 0 .4  + × × × × × + 1 2 3 1 2 3 c 0. 3 0. 7 c  0. 6 0. 4 × × × + 1 2 3 3 c 0. 3 0. 7 0. 4 1 2 3 3 c × 0. 7 × 0. 3 × 0. 4 = 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096  = 0.43624.  9.  三人独立破译一密码,  他们能单独译出的概率分别为 4 1 , 3 1 , 5 1 ,  则此密码被译出的概率_____.  解.  设 A, B, C 表示事件甲,  乙,  丙单独译出密码.,  则 4 1 ,  ( ) 3 1 , ( ) 5 1 P(A ) = P  B  = P C = .  P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC) + P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) =  5 3 4 1 3 1 5 1 4 1 3 1 4 1 5 1 3 1 5 1 4 1 3 1 5 1 + + - × - × - × + × × = .  二．单项选择题.  1.  以 A 表示“甲种产品畅销,  乙种产品滞销”,  则对立事件 A 为 (A) “甲种产品滞销,  乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销” (C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销” 解. (D)是答案.  2.  设 A, B, C 是三个事件,  与事件 A 互斥的事件是 (A) AB + AC (B) A(B + C) (C) ABC (D) A + B + C 解. A(A + B + C) = AA B C = f,  所以(D)是答案.  3.  设 A, B 是任意二个事件,  则 (A) P(A»B)P(AB) ³ P(A)P(B) (B) P(A»B)P(AB) £ P(A)P(B) (C) P(A－B)P(B－A)£ P(A)P(B)－P(AB) (D) 4 1 P(A - B )P (B - A ) ³ .  解. P(A + B)P(AB)－P(A)P(B) = (P(A) + P(B)－P(AB))P(AB)－P(A)P(B) =－P(A)(P(B)－P(AB)) + P(AB)(P(B)－P(AB) =－(P(B)－P(AB))(P(A)－P(AB)) =－P(B－A)P(A－B) £ 0  所以(B)是答案 .  4.  事件 A 与 B 相互独立的充要条件为

(A)A+B=Q (B)P(AB)=P(A)P(B)(C)AB=o (D)P(A+ B)=P(A)+ P(B) 解.(B)是答案 5设A,B为二个事件,且P(AB)=0,则 解概率理论中P(A)=0不能推出A为不可能事件(证明超出大纲要求)所以(C)是 (A)A,B互斥(B)AB是不可能事件(C)AB未必是不可能事件(D)P(A)=0或P(B) 6.设A,B为任意二个事件,且AcB,P(B)>0,则下列选项必然成立的是 (A)P(A)P(AB)(C)P(A)2P(AB) 解P(41B)=P(B)=PB2P(4)(当B=时等式成立(B)是答案 7.已知0<P(B)<1,且P[(A1+A2)B]=P(AB)+P(A2B,则下列选项必然成立的是 (A)P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B) B)P(AIB+A2B)=P(A1B)+P(A2B) C)P(Al+A2)=P(AIB)+P(A2B) (D)P(B)=P(AIP(BJA1+ P(A2)P(B A2) 解.由P[(A1+A2)B]=P(A1|B)+P(A2B得到 PI(A+A2)B P(AB) P(AB) P(B) P(B)PB)所以P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)(B是答案 三.计算题 1.某厂生产的产品次品率为0.05,每100个产品为一批,抽查产品质量时,在每批中任取一半来检 查,如果发现次品不多于1个,则这批产品可以认为合格的,求一批产品被认为是合格的概率 解 该批产品合格)=P(全部正品)+P恰有1个次品) C9s Cos C5 =0.2794 2.书架上按任意次序摆着15本教科书,其中有5本是数学书,从中随机地抽取3本,至少有一本是 数学书的概率 解.假设A={至少有一本数学书};.A={没有数学书} P(A) PA)=1-P(A)=67 3.全年级100名学生中有男生80名,来自北京的20名中有男生12名.免修英语的40名学生中有 男生32名,求出下列概率: i.碰到男生情况不是北京男生的概率; 碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率; i.碰到北京男生的概率 ⅳv.碰到非北京学生情况下是一名女生的概率 V.碰到免修英语的男生的概率 解.学生情况 男生 女生 北京 免修英语 总数 P(不是北京男生) 8020 P(男生北京学生)=3 P(北京男生)2100

(A) A + B = W (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB = f (D) P(A + B) = P(A) + P(B) 解. (B)是答案.  5.  设 A, B 为二个事件,  且 P(AB) = 0,  则 (A) A, B 互斥 (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A) = 0 或 P(B) = 0.  解.  概率理论中 P(A) = 0 不能推出 A 为不可能事件(证明超出大纲要求).  所以(C)是答案.  6.  设 A, B 为任意二个事件,  且 AÃB, P(B) > 0,  则下列选项必然成立的是 (A) P(A)  P(A|B)  (C) P(A) ³ P(A|B) 解.  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( |  ) P A P B P A P B P AB P A B = = ³ (当 B = W时等式成立). (B)是答案.  7.  已知 0 < P(B) < 1,  且 P[(A1 + A2)|B] = P(A1|B) + P(A2|B),  则下列选项必然成立的是 (A) P[(A A ) | B] P(A | B) P(A | B) 1 + 2 = 1 + 2 (B) P(A1B +A2B) = P(A1B) +P(A2B) (C) P(A1 +A2) = P(A1|B) +P(A2|B) (D) P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) 解.  由 P[(A1 + A2)|B] = P(A1|B) + P(A2|B)得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ] 1 2 1 2 P B P A B P B P A B P B P A A B = + + ,  所以 P(A1B +A2B) = P(A1B) +P(A2B). (B)是答案.  三.  计算题 1.  某厂生产的产品次品率为 0.05,  每 100 个产品为一批,  抽查产品质量时,  在每批中任取一半来检 查,  如果发现次品不多于 1 个,  则这批产品可以认为合格的,  求一批产品被认为是合格的概率.  解.  P(该批产品合格) = P(全部正品) + P(恰有 1 个次品) =  0 .2794  50 100 1 5 49 95 50 100 50 95 + = c  c  c  c  c 2.  书架上按任意次序摆着 15 本教科书,  其中有 5 本是数学书,  从中随机地抽取 3 本,  至少有一本是 数学书的概率.  解.  假设 A={至少有一本数学书}. A ={没有数学书}  P( A ) =  91  24  3 15 3 10 = c  c ,  P(A) = 1－P( A ) =  91 67 3.  全年级 100 名学生中有男生 80 名,  来自北京的 20 名中有男生 12 名.  免修英语的 40 名学生中有 男生 32 名,  求出下列概率:  i.  碰到男生情况不是北京男生的概率;  ii.  碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率;  iii.  碰到北京男生的概率;  iv.  碰到非北京学生情况下是一名女生的概率;  v.  碰到免修英语的男生的概率.  解.  学生情况:  男生 女生 北京 12 8  免修英语 32  8  总数 80 20  i.  P(不是北京|男生) =  20 17 80 68 = ii.  P(男生|北京学生) =  5 3 20 12 = iii.  P(北京男生) =  100 12

P(女生非北京学生) (免修英语男生)=100 4.三个箱子,第一个箱子中有4个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中 有3个黑球5个白球,现随机地取一个箱子,再从这个箱子中取出1个球,问 i.这个球是白球的概率; ⅱ.已知取出的球为白球,此球属于第二箱子的概率 解.球的情况: 总数 第二箱 第三箱 433 3 568 ⅰ.P白球)=P(白球第一箱(第一箱)+P(白球第二箱尸第二箱)+P(白球第三箱P第三箱 l1315153 536383120 ⅱP(第二箱白球)=P白球|第二箱)P(第二箱)_63_20 P白球) 5.袋中有12个球,其中9个是新的,第一次比赛时从中取3个,比赛后任放回袋中,第二次比赛 再从袋中任取3个球,求 ⅰ.第二次取出的球都是新球的概率 ⅱ.又已知第二次取出的球都是新球,第一次取到的都是新球的概率 解.i.设B1表示第一次比赛抽到i个新球(=0,1,2,3)A表示第二次比赛都是新球.于是 P(B,) P(AB) CaC3 Cg-i P(A)=∑P(B)P(A|B)=∑c aD (C12)- (3( cics+clc2c+cacic+dgc ca) (2)(1×1×84+9×3×56+36×3×35+84×1×20)= 7056 484000.146 84×1×20 P(B、|A=P(A|B)P(B)_(220 P(A 70562 48400 6.设甲、乙两袋,甲袋中有n个白球,m个红球,乙袋中有N个白球,M个红球,今从甲袋中任取 只放入乙袋,再从乙袋中任取一球,问取到白球的概率 解.球的情况 白球 红球 甲袋 n 乙袋 假设A={先从甲袋中任取一球为白球}B={先从甲袋中任取一球为红球 C={再从乙袋中任取一球为白球} P(C)=P(CIA)P(A)+ P(CIB)P(B) N+1 N+M+1 n+m+M+1 n(N+1)+Nm (N+M+1)(m+n) 本期答案由聚焦图书提供,特别感谢!

iv.  P(女生|非北京学生) =  80 12 v.  P(免修英语男生) =  100 32 4.三个箱子,  第一个箱子中有 4 个黑球 1 个白球,  第二个箱子中有 3 个黑球 3 个白球,  第三个箱子中 有 3 个黑球 5 个白球,  现随机地取一个箱子,  再从这个箱子中取出 1 个球,  问 i.  这个球是白球的概率;  ii.  已知取出的球为白球,  此球属于第二箱子的概率.  解.  球的情况:  黑 白 总数 第一箱 4  1  5  第二箱 3  3  6  第三箱 3  5  8  i. P(白球) = P(白球|第一箱)P(第一箱) + P(白球|第二箱)P(第二箱) + P(白球|第三箱)P(第三箱) =  120 53 3 1 8 5 3 1 6 3 3 1 5 1 × + × + × = ii. P(第二箱|白球) =  53  20  100  53  3  1  6  3  P( ) P( |  )P( ) = × = 白球 白球 第二箱 第二箱 5． 袋中有 12 个球,  其中 9 个是新的,  第一次比赛时从中取 3 个,  比赛后任放回袋中,  第二次比赛 再从袋中任取 3 个球,  求:  i.  第二次取出的球都是新球的概率;  ii.  又已知第二次取出的球都是新球,  第一次取到的都是新球的概率.  解. i.  设 Bi 表示第一次比赛抽到 i 个新球(i = 0, 1, 2, 3). A 表示第二次比赛都是新球.  于是 3 12 3 9 3 ( ) c  c  c  P B i  i  i - = ,  3 12 3 9 ( |  ) c  c  P A B i  i - = ( ) ( ) 1  ( ) ( ) ( ) ( |  ) 3 6 0 3 3 9 3 7 1 3 2 9 3 8 2 3 1 9 3 9 3 3 0 3 2 9 12 3 0 3 2 12 3 9 3 9 3 3 0 c  c  c  c c  c  c  c c  c  c  c  c  c  c  c  c  P A P B P A B i  i  i  i  i  = Â i i  = Â = + + + = - - = 0 .146  48400  7056  (1  1  84  9  3  56  36  3  35  84  1  20 ) (220 ) 1  2 = ¥ ¥ + ¥ ¥ + ¥ ¥ + ¥ ¥ = = ii.  21  5  48400  7056  (220 ) 84  1  20  ( ) ( |  ) ( ) ( |  ) 2 3 3 3 = ¥ ¥ = = P A P A B P B P B A 6.  设甲、乙两袋,  甲袋中有 n 个白球, m 个红球,  乙袋中有 N 个白球, M 个红球,  今从甲袋中任取一 只放入乙袋,  再从乙袋中任取一球,  问取到白球的概率.  解.  球的情况:  白球 红球 甲袋 n m  乙袋 N M  假设 A = {先从甲袋中任取一球为白球}  B = {先从甲袋中任取一球为红球}  C = {再从乙袋中任取一球为白球}  P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B) m n m N M  N n m n N M  N + × + + + + × + + + = 1 1 1 ( 1 )( ) ( 1 ) N M m  n  n N Nm  + + + + + =