兰州大学：《矩阵理论》第九讲 矩阵的幂级数

矩阵理论-第九讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004 年 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9-1

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-1 矩阵理论-第九讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年

上节内容回顾 矩阵的条件数 定义矩阵条件数的工程背景 矩阵的奇异值 矩阵序列 矩阵序列收敛的充分必要条件 A6):A∈CmN",k=0,1,…,} Im A lim A)-A=0 k→> k→∞ 收敛矩阵 A∈C lim 矩阵级数 矩阵级数的绝对收敛的充要条件 k=0 4绝对收敛←V|:Cm→R 1)收敛 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲2

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-2 上节内容回顾 • 矩阵的条件数 – 定义矩阵条件数的工程背景 – 矩阵的奇异值 • 矩阵序列 – 矩阵序列收敛的充分必要条件 – 收敛矩阵 • 矩阵级数 – 矩阵级数的绝对收敛的充要条件 绝对收敛 收敛 ( ) { : , 0,1, ,} k m n A A C k   = ( ) lim 0 k k A A → − = ( ) lim k k A A → = : m n C R  + k 0 A ( ) k   →   = lim k k A → = 0 n n A C   ( ) 0 k k A   =

矩阵的幂级数 矩阵幂级数 设A∈C,ak∈C(k=0,1,…,),称矩阵级数 为矩阵A的幂级数 方阵幂级数收敛的判别定理 若复变数幂级数0a2的收敛半径为,而矩阵A∈Cm的谱半径 为p(A),则 1.当p(4)a4绝对收敛 k=0 2.当p(4)>r时,方阵幂级数∑a4发散 证明 P(a<r 0<r-p(A)=E′,取0< 彐n:Cm→R,使得 An≤p(A)+6 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9计-3

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-3 矩阵的幂级数 – 矩阵幂级数 设 ， ，称矩阵级数 为矩阵A的幂级数 – 方阵幂级数收敛的判别定理 若复变数幂级数 的收敛半径为r，而矩阵 的谱半径 为 ，则 1. 当 时，方阵幂级数 绝对收敛 2. 当 时，方阵幂级数 发散 证明： 1. ，取 ，使得 ( 0,1, ,) k a C k  = n n A C   0 k k k a A   = 0 k k k a A   = 0 k k k a A   = 0 k k k a z   = n n A C   ( ) A ( ) A r  ( ) A r  ( ) A r  0 ( )  − = r A   0       ( ) A r +  : n n m C R  +  → ( ) m A A r  +   

矩阵的幂级数 a4|1ssa(p()+8) 由于幂级数 ∑a(()+) 收敛,根据正项级数的比较审敛法知矩阵幂级数 绝对收敛 2由于(4)=ma12|,设=max1|,则p(4)=1 当(4)>r时,4|>r 由 Jordan定理,彐P∈C",使得 1o1 P- AP=J (=1or0) 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲4

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-4 矩阵的幂级数 由于幂级数 收敛，根据正项级数的比较审敛法知矩阵幂级数 绝对收敛 2. 由于 ，设 ，则 当 时， 由Jordan定理， ，使得 ( ( ) ) k k k k k k k k m m m a A a A a A a A =      +   0 ( ( ) )k k k a A    =  + 0 k k k a A   = ( ) max j j   A = max l j j   = ( )   A = l ( ) A r  l   r 1 1 1 2 1 ( 1 0) i n n P AP J or       − −       = = =       n n P Cn   

矩阵的幂级数 矩阵幂级数 ∑0anJ 的对角线元素为 由于∑a发散,从而矩阵幂级数∑aJ发散 由于矩阵幂级数 PA O k=0 具有相同的敛散性,可知 k=0 v:Cm→R 也发散。 推论 设幂级数∑4=的收敛半径为r,A∈C"。若3:Cm→R 使得|4‖<r,则矩阵幂级数∑a4绝对收敛 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲5

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-5 矩阵的幂级数 矩阵幂级数 的对角线元素为 由于 发散，从而矩阵幂级数 发散 由于矩阵幂级数 与 具有相同的敛散性，可知 也发散。 – 推论 设幂级数 的收敛半径为r， 。若 使得 ，则矩阵幂级数 绝对收敛 0 k k k a J   = 0 ( 1, , ) k k j k a j n   =  = 0 k k l k a    = 0 k k k a J   = ( ) 0 k k A   = ( ) 0 k k PA Q   = 0 k k k a A   = 0 k k k a z   = : n n C R  +  → n n A C   A r  0 k k k a A   = ( ) A A  : n n C R  +  →

矩阵的幂级数 举例 判断矩阵幂级数 k(18 k=06′ 的敛散性 解:令 eig(a) ans 0.8333 0.5000 p(A)=0.8333×1 k 由于幂级数∑k的收敛半径为=1 绝对收敛 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲6

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-6 矩阵的幂级数 – 举例 判断矩阵幂级数 的敛散性 解：令 >> eig(A) ans = 0.8333 -0.5000 由于幂级数 的收敛半径为r = 1 绝对收敛 0 1 8 6 2 1 k k k  k =   −      − 1 1 8 6 2 1 A   − =     − ( ) 0.8333 1 A =  0 k k kz   = 0 1 8 6 2 1 k k k  k =   −      −

矩阵的幂级数 Neumann级数收敛充要条件 设A∈Cm,称矩阵幂级数∑。4为 Neumann级数 ∑≌04收敛 p(A)<1 并且在此级数收敛时,其和为(-A) 证明: 充分性:p(4)<1 ∑≌4收敛 幂级数∑k的收敛半径为1 必要性:若矩阵幂级数 k=0 收敛,记 ∑ ,则limS"=S n→00 lim A"=lim(s-s)=lim S-limS=0 n→00 n→0 n→)0 n→)00 收敛矩阵的充要条件 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9计7

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-7 矩阵的幂级数 – Neumann级数收敛充要条件 设 ，称矩阵幂级数 为Neumann级数 收敛 并且在此级数收敛时，其和为 证明： 充分性： 幂级数 的收敛半径为1 必要性：若矩阵幂级数 收敛，记 ， ，则 n n A C   0 k k A   = 0 k k A   = ( ) 1 A  ( ) 1 A  0 k k kz   = 0 k k A   = 收敛 0 k k S A  = = ( ) 0 n n k k S A = = ( ) lim n n S S → = 0 k k A   = ( ) ( 1) ( ) ( 1) lim lim( ) lim lim n n n n n n n n n A S S S S − − → → → → = − = − = 0 ( ) 1 A  1 ( ) I A − − 收敛矩阵的充要条件

矩阵的幂级数 当∑4收敛时,m(4)<1 0<1-D(A)=E 取0<E<E p(4)+E<1 彐:Cm→Rt 4≤p(A)+E<1→1-A可逆 由于S"(I-A)=1+4+A+…+A A-A n+1 A是收敛矩阵lmA=0 S=lim S=(I-A) n→0 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲8

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-8 矩阵的幂级数 当 收敛时， 取 可逆 由于 0 k k A   = ( ) 1 A  0 1 ( )  − =   A  0       ( ) 1 A +  : n n C R  +  → A A  +    ( ) 1 I A − ( ) 2 ( ) n n S I A I A A A − = + + + + 2 1 n n A A A A + − − − − − n 1 I A + = − ( ) 1 1 1 ( ) ( ) n n S I A A I A − + − = − − − ( ) 1 lim ( ) n n S S I A − → = = − A是收敛矩阵 lim n n A → = 0

矩阵的幂级数 举例 设 0.20.10.2 A=0.50.50.4 0.10.30.2 判断矩阵幂级数∑A的敛散性,若收敛,求其和 解:norm(A,1) ans=0.9000 即4=09<1,所以∑4绝对收敛 nv(eye(size (A))-A) ans 2.00001.00001.0000 3.14294.42863.0000 1.4286178572.5000 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲9

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-9 矩阵的幂级数 – 举例 设 判断矩阵幂级数 的敛散性，若收敛，求其和 解：norm(A,1) ans = 0.9000 即 ，所以 绝对收敛 inv(eye(size(A))-A) ans = 2.0000 1.0000 1.0000 3.1429 4.4286 3.0000 1.4286 1.7857 2.5000 0.2 0.1 0.2 0.5 0.5 0.4 0.1 0.3 0.2 A     =       0 k k A   = 1 A =  0.9 1 0 k k A   = 0 k k A  = =

矩阵函数 定义: 矩阵函数的定义基于收敛的矩阵幂级数∑AaA ∑a收敛于个唯一的矩阵,即此阵幂级数的和S。这样,矩 阵幂级数在矩阵Cm与C之间建立了一个映射 f:C""→C" n×n 称此映射为矩阵函数,它是以矩阵为变量(更为确切地,以方阵为变 量)且取值为矩阵(方阵)的一类函数 称S为4在映射下的象,记作S=f(A) e(r=+∞ k=0 (1-z)(r=1) k=0 Sinz(r=+∞) (2k+1) (1-2k=coSz (r=+ k+1 ln(1+z)(r=1) 0(2k) k=0k+1 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9-10

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-10 矩阵函数 – 定义： 矩阵函数的定义基于收敛的矩阵幂级数 。 收敛于一个唯一的矩阵，即此矩阵幂级数的和S。这样，矩 阵幂级数在矩阵 与 之间建立了一个映射： 称此映射为矩阵函数，它是以矩阵为变量（更为确切地，以方阵为变 量）且取值为矩阵（方阵）的一类函数。 称S为A在映射f下的象，记作： : n n n n f C C   → 0 k k k a A   = 0 k k k a A   = S f A = ( ) n n C  n n C  0 ( ) ! k z k z e r k  =  = = + 2 1 0 ( 1) sin ( ) (2 1)! k k k z z r k  + = − = = + +  2 0 ( 1) cos ( ) (2 )! k k k z z r k  = −  = = + 1 0 (1 ) ( 1) k k z z r  − =  = − = 1 0 ( 1) ln(1 ) ( 1) 1 k k k z z r k  + = − = + = + 