《近世代数基础》课程定理定义及证明题解_307

定义1环2的非空子集叫做一个理想子环,简称理想,假如 a,b∈→a-b∈ a∈,∈R→ra,ar∈界 定理1一个除环R只有两个理想,就是零理想和单位理想 证明:假定是R的一个理想而别不是零理想。那么a(=0∈,由理想的定义,aa=1∈ 因而R的任意元b=b1∈。这就是说=R 例1看整数环R。那么一个整数20.1的所有倍数(r∈2)作成一个理想 例2看一个环R上的一元多项式环2x]那么所有的多项式 a1x (x21) R[x 的一个理想 (xy1+…+xm)+8a+at+na 定义2上面的这样的叫做由元a生成的主理想。这个理想我们用符号(a)来表示。 当是交换环时, (a) a+ma,(r∈R,n是整数)} 当有单位元的时候 a)=C∑xay1(x1,∈EB) 当既是交换环又有单位元的时候 例3假定x]是整数环R上的一元多项式环,我们看列灯]的理想(2x).因为2x]是有单位 交换环, 所有的元 2n2(x)+22(x)作成,换句话说,(2x)刚好包含所有的多项式

定义 1 环 的非空子集叫做一个理想子环，简称理想，假如 （i） （ii） 定理 1 一个除环 只有两个理想，就是零理想和单位理想。 证明：假定 是 的一个理想而 不是零理想。那么 ，由理想的定义， ， 因而 的任意元 。这就是说 。 例 1 看整数环 。那么一个整数 的所有倍数 作成一个理想。 例 2 看一个环 上的一元多项式环 。那么所有的多项式 作成 的一个理想。 定义 2 上面的这样的 叫做由元 生成的主理想。这个理想我们用符号 来表示。 当 是交换环时， { ，（ ， 是整数）} 当 有单位元的时候， 当 既是交换环又有单位元的时候， 例 3 假定 是整数环 上的一元多项式环。我们看 的理想 。因为 是有单位元的 交换环， 由所有的元 作成；换句话说， 刚好包含所有的多项式

2a0+a1x+…+a xx2(a1∈R,n20)