《近世代数基础》课程定理定义及证明题解_110

定义1一个AXA到D的映射R叫做A的元间的一个关系,若R(a,b)=对我们称a与b符合关系R 记作GRB,若R(a,b)2错,我们称a与b 不符合关系R。 由这个定义,给了A的元间的一个关系,我们可以决定,任意一对A的元a,b是否符合这个关系 例1A={所有实数}, (a,b)>对,若b-a是正的 (a,b) 错,若b一a不是正的 是A的一个关系,这就是通常的小于关系 定义2集合A的元间的一个关系~叫做一个等价关系,假如~满足以下规律 I.反射律 a~aa∈A Ⅱ.对称律:a~b→b~a, Ⅲ.推移律:a~b,b~c=a-C 例2对任何集合A,“等于”这个关系是一个等价关系。 例3A={所有三角形},“相似”这个关系也是一个等价关系 定义3若把一个集合A分成若干个叫做类的子集,使得A的每一个元属于且仅属于一个类,那么,这 些类的全体叫做集合A的一个分类 定理1集合A的一个分类决定A的元素间的一个等价关系 证明:我们利用给定的分类来作一个等价关系。我们规定:q~b台a,b 属于同一类,我们证明它是 个等价关系 1.a与a同在一类,所以a~a。 Ⅱ.若是a与b同在一类,b与a也同在一类,所以a~b→b~a Ⅲ.若是a与O同在一类,b与C同在一类,那么“与也同在一类,所以,a~b,b~C→aC 定理2集合A的元素间的一个等价关系~决定A的一个分类 证明令[a]表示所有与等价的元素的全体 a~b→[a]=[b]

定义 1 一个 A A 到 D 的映射 R 叫做 A 的元间的一个关系，若 R =对,我们称 与 符合关系 R， 记作 ，若 R =错，我们称 与 不符合关系 R。 由这个定义，给了 A 的元间的一个关系，我们可以决定，任意一对 A 的元 a，b 是否符合这个关系。 例 1 A={所有实数}， R： ——>对，若 是正的； ——>错，若 不是正的， 是 A 的一个关系，这就是通常的小于关系。 定义 2 集合 A 的元间的一个关系~叫做一个等价关系，假如~满足以下规律： I． 反射律： ， ， II． 对称律： ， III．推移律： ， 。 例 2 对任何集合 A，“等于”这个关系是一个等价关系。 例 3 A={所有三角形}，“相似”这个关系也是一个等价关系。 定义 3 若把一个集合 A 分成若干个叫做类的子集，使得 A 的每一个元属于且仅属于一个类，那么，这 些类的全体叫做集合 A 的一个分类。 定理 1 集合 A 的一个分类决定 A 的元素间的一个等价关系。 证明：我们利用给定的分类来作一个等价关系。我们规定： 属于同一类，我们证明它是 一个等价关系。 I． 与 同在一类，所以 。 II．若是 与 同在一类， 与 也同在一类，所以 。 III．若是 与 同在一类， 与 同在一类，那么 与 也同在一类，所以， ， 。 定理 2 集合 A 的元素间的一个等价关系~决定 A 的一个分类。 证明：令 表示所有与 等价的元素的全体， (i)

若a~b,Vc∈[a]→ca→c~b→c∈],即a]c[b a~b→b~a,同理可证b]c[a],故a]=b] (i)A中每个元只能属于一个类 若∈b],a∈[],则a~b,b~c→b~c→]= m)A的每一个元a的确属于某一类,a∈[a] 定义4假设有集合A的一个分类,那么,一个类里的任何一个元叫做这个类的一个代表,刚好由每个类 的一个代表作成的一个集合叫做一个全体代表团 例4A={所有整数},取一个正整数2,规定 aRb台H|(a-b) 它是一个等价关系,称为模n的同余关系,记为a=B(n),读作a与b关于模同余 [0]=(…,-2n,-n,0,n,2n,… [n-1]=(…,-n-1,-1,n-1,2n-1 n2-1为一个全体代表

若 ， ，即 ， 又 ，同理可证 ，故 ； (ii) A 中每个元只能属于一个类 若 ， ，则 ， ； (iii) A 的每一个元 的确属于某一类， 。 定义 4 假设有集合 A 的一个分类，那么，一个类里的任何一个元叫做这个类的一个代表，刚好由每个类 的一个代表作成的一个集合叫做一个全体代表团。 例 4 A={所有整数}，取一个正整数 ，规定： ， 它是一个等价关系，称为模 的同余关系，记为 ，读作 与 关于模 同余。 ， ， ； 0，1，2， 为一个全体代表团