《近世代数基础》课程定理定义及证明题解_107

定义1若在一个集合A到集合A的映射下,A的每一个元都至少是A一个元的象,那么称为A A 到A的一个满射 例 偶 是一个A到A的满射 定义2设W是A到A的一个映射,且Va,b∈A,若a≠b,则它们的象a≠b,则称是A A 个单 例2A=A=(所有整数的全体 是A到A的一个单射,但它不是一个满射 定义3若集合A到的映射W既是单射又是满射,则称为A到A间的一一映射。 例 A 是A到A间的一一映射。 定理一个A到A间的一一映射带来一个用表示的到A间的一一映射

定义 1 若在一个集合 A 到集合 的映射 下， 的每一个元都至少是 A 一个元的象，那么称 为 A 到 的一个满射。 例 1 A={1，2，3， }， ={奇，偶}， ：1，3，5， ————〉奇； 2，4，6， ————〉偶 是一个 A 到 的满射。 定义 2 设 是 A 到 的一个映射，且 ， A，若 ，则它们的象 ，则称 是 A 到 的一个单射。 例 2 A= ={所有整数的全体}， ：A————〉A； ————〉2 是 A 到 的一个单射，但它不是一个满射。 定义 3 若集合 A 到 的映射 既是单射又是满射，则称 为 A 到 间的一一映射。 例 3 A={1，2，3， }， ={2，4，6， }， ：A——〉 ， 1——〉2，2——〉4，3——〉6， 是 A 到 间的一一映射。 定理 一个 A 到 间的一一映射 带来一个用 表示的 到 A 间的一一映射

证明:(1 -)a,假如a=v(a 容易验证是A到A的映射: (2)是到A的满射 ya∈ 2是E到A的单射x 若b→v2(a)w2(b),a≠b 反证,若a=b,则(a)=v(b),从而互=b,矛盾。 定义4一个A到A的映射叫做A的一个变换。一个A到A的满射、单射或A与A间的一一映射叫做 A的一个满射变换、单射变换或一—变换。 例4A={所有实数} e是A的一个单射变换。 例5A={所有整数}。 若a为偶数 a+1 若“为奇 是A的一个满射变换。不是单射变换,因为2)1,同时1)1

证明：(1) ： ————〉A， ————〉 ，假如 容易验证 是 到 A 的映射； (2) 是 到 A 的满射： A，都有 ， ： ————〉 ； (3) 是 到 A 的单射： 若 ，即 ， 反证，若 ，则 ，从而 ，矛盾。 定义 4 一个 A 到 A 的映射叫做 A 的一个变换。一个 A 到 A 的满射、单射或 A 与 A 间的一一映射叫做 A 的一个满射变换、单射变换或一一变换。 例 4 A={所有实数}。 ： ————〉 是 A 的一个单射变换。 例 5 A={所有整数}。 ： ————〉 ， 若 为偶数， ————〉 ， 若 为奇数； 是 A 的一个满射变换。不是单射变换，因为 2——〉1，同时 1——〉1

例6A={1,2,3}, 都是A的一一变换

例 6 A={1，2，3}， ：1——〉1，2——〉2，3——〉3， ：1——〉2，2——〉3，3——〉1， ：1——〉1，2——〉3，3——〉2； 都是 A 的一一变换