中国人民大学：《金融数学》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 均值方差证券投资组合选择模型

第二草 均值方差证券投资组合选择模型 马科维茨 Markowitz《证券组合选择》 投资选择:风险(低)收益(高)之间的“平 衡 基于期望收益率上的投资决策,最多只能获得 最高的平均收益率 风险收益的“数量化” 前沿组合、无差异曲线数学性质

第三章 均值方差证券投资组合选择模型 马科维茨Markowitz《证券组合选择》 投资选择：风险（低）收益（高）之间的“平 衡” 基于期望收益率上的投资决策，最多只能获得 最高的平均收益率 风险收益的“数量化” 前沿组合、无差异曲线数学性质

第一节风险和收益的数学度量 用随机变量表示未来的收益率 用期望代表:平均收益率 ●方差代表风险(得到平均收益率的不确定性) ●从分布函数(条件太强)计算收益和风险 ●从“历史”样本估计收益和风险 i ∑ n-1

第一节 风险和收益的数学度量 ⚫ 用随机变量表示未来的收益率 ⚫ 用期望代表：平均收益率 ⚫ 方差代表风险（得到平均收益率的不确定性 ） ⚫ 从分布函数（条件太强）计算收益和风险 ⚫ 从“历史”样本估计收益和风险   = = − − = = n t t n t t n r r n r n r r r 1 2 2 1 1 1 1 1 ( ) ,..., 

证券之间关联性—相关系数 ●某一证券价格的变动可能伴随着另一证券价格 的变动。关联性普遍存在。 需要度量关联性的方向和程度 ●随机变量的协方差和相关系数 ●从联合分布可计算 ●用历史数据计算(3.10)(3,11) coV(1,/2)=E(n1-1)(2-n2) cov(n1,/2) 2 102

证券之间关联性——相关系数 ⚫ 某一证券价格的变动可能伴随着另一证券价格 的变动。关联性普遍存在。 ⚫ 需要度量关联性的方向和程度 ⚫ 随机变量的协方差和相关系数 ⚫ 从联合分布可计算。 ⚫ 用历史数据计算（3.10）(3.11) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2    cov( , ) cov( , ) ( )( ) r r r r E r r r r = = − −

●三种相关程度 1、完全线性相关:完全决定另一个 ● AB 1或p AB +b×,02=b2×o2 B 2、不完全线性相关:“部分”决定另一个 ●IA=a+b×rB+e 02=b2×02n+02(E) 3、不相关:一证券的变化对另一证券的变化 “没有贡献” ●pa=0或cov(r,rB)=0

⚫ 三种相关程度： ⚫ 1、完全线性相关：完全决定另一个 ⚫ ρAB ＝1或ρAB ＝-1 ⚫ rA ＝a＋b×rB , σ2 A ＝b 2×σ2 B ⚫ 2、不完全线性相关：“部分”决定另一个 ⚫ rA ＝a＋b×rB＋ε ⚫ σ2 A ＝b 2×σ2 B＋σ2（ε） ⚫ 3、不相关：一证券的变化对另一证券的变化 “没有贡献” ⚫ ρAB ＝0或cov（rA，rB）＝0

组合的期望和方差计算方法 以两组合为例,多组合类推 “两证券组合”的收益率数学表示法 ●证券A和B,以总资金的W的比例投资于A,以 W于B。W+WB=1,则拥有证券组合 P=(W Wo) ●WA,WB为组合P中A的权数和B的权数 假设AB的收益率为rA和rB,则 ●P的收益率为rp=WA×A+WBXB ●权数可以为负。 ●W<0,表示该组合投资者卖空证券A

组合的期望和方差计算方法 以两组合为例，多组合类推 ⚫ “两证券组合”的收益率数学表示法 ⚫ 证券A和B，以总资金的WA的比例投资于A，以 WB于B。WA＋WB ＝1，则拥有证券组合 ⚫ P＝（WA，WB） ⚫ WA，WB为组合P中A的权数和B的权数 ⚫ 假设AB的收益率为rA和rB，则 ⚫ P的收益率为r P ＝WA×rA＋WB×rB ⚫ 权数可以为负。 ⚫ WA＜0，表示该组合投资者卖空证券A

●两证券组合的期望收益率与方差计算方法 ●必须知道相关系数或协方差 ●E(rp)=W×E(rA)+WB×E(rB ●0 W2×02+W2×02, P B +2×WA×WB×DAB×0A×OB ●选择不同的组合权数,得到不同的组合,从 而得到不同的期望收益率和方差。 ●W和W有无限种取法,投资者有无限多种 证券组合可供选择 ●每个投资者根据自己对收益和方差(风险 的偏好,选择符合自己要求的证券组合

⚫ 两证券组合的期望收益率与方差计算方法 ⚫ 必须知道相关系数或协方差 ⚫ E（r P）＝WA×E（rA）＋WB×E（rB） ⚫ σ2 P ＝W2 A×σ2 A＋W2 B×σ2 B ⚫ ＋2×WA×WB×ρAB×σA×σB ⚫ 选择不同的组合权数，得到不同的组合，从 而得到不同的期望收益率和方差。 ⚫ WA和WB有无限种取法，投资者有无限多种 证券组合可供选择。 ⚫ 每个投资者根据自己对收益和方差（风险） 的偏好，选择符合自己要求的证券组合

两种证券的结合线 ●分多种情况:双曲线、直线、折线 构建0风险组合、存在无风险证券情况 P 户三-0.5 AR=O +=

两种证券的结合线 ⚫ 分多种情况：双曲线、直线、折线 ⚫ 构建0风险组合、存在无风险证券情况

第二节马克维茨模型的运作过程 模型的假设条件 ●假设1:收益率的概率分布是已知的 假设2:风险用收益率的方差或标准方差表示; 假设3:影响决策的因素为期望收益率和风险; ●假设4:投资者遵守占优原则,即 ●同一风险水平下,选择收益率较高的证券; 同一收益率水平下,选择风险较低的证券

第二节马克维茨模型的运作过程 模型的假设条件 ⚫ 假设1：收益率的概率分布是已知的； ⚫ 假设2：风险用收益率的方差或标准方差表示； ⚫ 假设3：影响决策的因素为期望收益率和风险； ⚫ 假设4：投资者遵守占优原则，即， ⚫ 同一风险水平下，选择收益率较高的证券； ⚫ 同一收益率水平下，选择风险较低的证券

投资组合几何表示和可行域 ●选定了证券的投资比例,就确定了组合。可以计算该 组合的期望收益率E和标准差op 以E为纵坐标、σ为横坐标,在EpOp坐标系中可 以确定一个点。每个组合对应Epop中的一个点 ●反过来,Ep0p中的某个点有可能反映某个组合 ●选择“全部”有可能选择的投资比例,那么,全部组 合在Ep0p中的“点”组成E0p中的区域 ●可行域( feasible set 可行域中的点所对应的组合才是“有可能实现”的组 可行域之外的点是不可能实现的证券组合 ●可行域=机会集

投资组合几何表示和可行域 ⚫ 选定了证券的投资比例，就确定了组合。可以计算该 组合的期望收益率EP和标准差σP ⚫ 以EP为纵坐标、σP为横坐标，在EP -σP坐标系中可 以确定一个点。每个组合对应EP -σP中的一个点 ⚫ 反过来，EP -σP中的某个点有可能反映某个组合 ⚫ 选择“全部”有可能选择的投资比例，那么，全部组 合在EP -σP中的“点”组成EP -σP中的区域 ⚫ 可行域（feasible set） ⚫ 可行域中的点所对应的组合才是“有可能实现”的组 合。 ⚫ 可行域之外的点是不可能实现的证券组合。 ⚫ 可行域＝机会集

可行域必须满足的形状 ●左上边缘部分向外凸或直线—“凸集” ●可以证明,边界是双曲线

可行域必须满足的形状 ⚫ 左上边缘部分向外凸或直线—“凸集” ⚫ 可以证明，边界是双曲线