中国人民大学：《金融数学》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 连续时间金融初步

第六章连续时间金融初步 连续时间金融理论是现代金融经济学的分支 衍生品的定价(比如期权)正是建立在连续时间 金融理论之上 本章共分为4节 第一节,连续时间金融的基础数学知 第二节, Merton(1969)的开创性论文 第三节,讲解 Black-Scholes模型 第四节,简单回顾最新连续时间金融理论研究

第六章 连续时间金融初步 连续时间金融理论是现代金融经济学的分支 衍生品的定价(比如期权)正是建立在连续时间 金融理论之上 本章共分为4节 第一节，连续时间金融的基础数学知识； 第二节，Merton(1969)的开创性论文； 第三节，讲解Black—Scholes模型； 第四节，简单回顾最新连续时间金融理论研究

第一节连续时间金融数学基础 涉及到的数学: ●测度论、实变函数、随机过程、随机微分 方程、马尔可夫链等等 ●已经超过本教材的范围, 详细内容,参阅下面经典著作 ● Protter(1992) ● Karatzas和 Shreve(1988) ● Ikeda和 Watanabe(1989) ● Chung和 Williams(1990 o Williams (1991)

第一节 连续时间金融数学基础 ⚫ 涉及到的数学： ⚫ 测度论、实变函数、随机过程、随机微分 方程、马尔可夫链 等等 ⚫ 已经超过本教材的范围， ⚫ 详细内容，参阅下面经典著作： ⚫ Protter (1992) ⚫ Karatzas和Shreve(1988) ⚫ Ikeda和Watanabe（1989） ⚫ Chung和Williams（1990） ⚫ Williams（1991）

布朗运动与几何布朗运动 ●定义:称随机过程B=(B,t∈[O∞) ●为标准布朗运动( Brownian motion)或维纳 过程( Wiener process),如果满足4个条件: ●(1)该运动起始于0点,即,B=0; °(2)该运动具有平稳性和独立增量性; (3)对任意的t>0,B服从均值为0,方差 为t的正态分布,即,B~N(0,t)。 (4)该运动样本轨迹连续,即,不存在跳跃

布朗运动与几何布朗运动 ⚫ 定义：称随机过程 ⚫ 为标准布朗运动（Brownian Motion）或维纳 过程（Wiener process），如果满足4个条件： ⚫ （1）该运动起始于0点，即，B0 =0； ⚫ （2）该运动具有平稳性和独立增量性； ⚫ （3）对任意的t＞0，Bt服从均值为0，方差 为t的正态分布，即，Bt ～N（0，t）。 ⚫ （4）该运动样本轨迹连续，即，不存在跳跃 B = (B , t [0,)) t

●结论:随机变量BB、(>s)与随机变量Bs 的分布相同, ●都服从均值为0,方差为t-s的正态分布 ●分布的相等并不意味着样本路径的相等 B.-B=B.butB.-B.≠B. S t-S S t-S ●结论:布朗运动B=(B,t∈[O,∞) ●为高斯过程,并且, ●均值E(B)=0 ●协方差E(BB)=min(s,t)

⚫ 结论：随机变量Bt－Bs (t＞s)与随机变量Bt-s 的分布相同， ⚫ 都服从均值为0，方差为t-s的正态分布 ⚫ 分布的相等并不意味着样本路径的相等 t s t s t s d Bt − Bs = B − but B − B  B − ⚫ 结论：布朗运动 ⚫ 为高斯过程，并且， ⚫ 均值 E(Bt )=0 ⚫ 协方差 E(BtBs )=min(s,t) B = (B , t [0,)) t

●性质6-1:布朗运动为0.5自相似 ●性质6-2:布朗运动相对于自然过滤 F=o(B,t>s)而言,为一个鞅

⚫ 性质6-1：布朗运动为0.5自相似 ⚫ 性质6-2：布朗运动相对于自然过滤 Ft=σ(Bs，t＞s)而言，为一个鞅

几何布朗运动 ●在 Black-Scholes(1973)和 Merton 1973)的论文中,都假定价格的波动 (运动)服从几何布朗运动,即 B=×e l+o×B E(p)=e (+2/2)x C,(t,s)= (4+a2/2)(t+s) X(e 1),s≤ O (t) auto)t 0-×t Xe x

几何布朗运动 ⚫ 在Black—Scholes（1973）和Merton （1973）的论文中，都假定价格的波动 （运动）服从几何布朗运动，即 ( ) ( ) ( , ) ( ), ( ) ( ) ( / )( ) ( / ) 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 =  − =  −  = =  +  + +  +  +  u t t x u t s s x u t t u t B t t e e C t s e e s t E P e P P e t       

aylor展开 ●以双变量的 Taylor展开为例。三阶略去 f(t+dt, Bd)-f(t, B,) =f(t, B,)dt+f2(t, B, )dB +1/2LG(,B)(dn)2+2f1(,B1)dl +/2(,B,B)2]+

Taylor展开 ⚫ 以双变量的Taylor展开为例。三阶略去。 ( , )( ) ] ... / [ ( , )( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) + + + + = + + + − 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 t t t t t t t t t d t t f t B dB f t B dt f t B dtdB f t B dt f t B dB f t dt B f t B

to引理 f(B)-f(B,)=f(B,)dB+1/2|f"(B,)dB,)2 (dB )=B+di-B)=dt s<t f(B)=f(B,)=Jf(B.)B2+12(B f(t,B,)-f(S,B)=2(x,B,dB +(f(x,B2)+1/2/2(x,B)x

Ito引理       + + − = − =  +  = − =  − =  +  + t s x x t s t s x x t s x t s t s x x x t d t t t s x x t s t s x x f x B f x B dx f t B f s B f x B dB f B f B f B dB f B dx dB B B dt s t f B f B f B dB f B dB ( ( , ) / ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) / ( )( ) 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2

第二节不确定情形下的 连续时间资产组合决策 以 Merton(1969)的经典论文为例 ●在 Merton(1969)之前,有少量的文章 分析多期下的资产组合问题,或者在分 析经济问题的时候运用多期分析的框架 例如, Tobin(1965)、 Phelps(1962 和 Samuelson(1969) ●从严格的意义上讲, Merton(1969)的 文章是连续时间金融领域的奠基之作

第二节 不确定情形下的 连续时间资产组合决策 ⚫ 以Merton（1969）的经典论文为例 ⚫ 在Merton（1969）之前，有少量的文章 分析多期下的资产组合问题，或者在分 析经济问题的时候运用多期分析的框架 ⚫ 例如，Tobin（1965）、Phelps（1962） 和Samuelson（1969） ⚫ 从严格的意义上讲，Merton（1969）的 文章是连续时间金融领域的奠基之作

Merton连续时间金融模型 假设存在一个典型代表性的经济人 ●W(t)表示该经济人在时刻的总财富 ●x(t)表小时刻第种资产的价格(i=1,2,,m) ●C(t)表示时刻的单位时间消费 ●假定任一资产价格服从几何布朗运动 某一时间段资产收益服从大漂移的布朗运动 ●投资者面临的决策问题是: ●在给定的投资期限下(无限期的情形更简 单),如何进行消费决策以及投资决策,使 得投资期限内的总效用最大化

Merton连续时间金融模型 ⚫ 假设存在一个典型代表性的经济人 ⚫ W(t)表示该经济人在t时刻的总财富 ⚫ Xi (t)表示t时刻第i种资产的价格（i=1,2,…,m） ⚫ C(t)表示t时刻的单位时间消费 ⚫ 假定任一资产价格服从几何布朗运动 ⚫ 某一时间段资产收益服从大漂移的布朗运动 ⚫ 投资者面临的决策问题是： ⚫ 在给定的投资期限下（无限期的情形更简 单），如何进行消费决策以及投资决策，使 得投资期限内的总效用最大化