北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第十二章 张量积与外代数 12.2.2 线性变换的张量积的定义

第二学期第二十八次课 命题在同构意义下张量积满足交换律、结合律以及与直和的分配律,即 V1⑧V2≡V2⑧V ⑧(2⑧V3)≡(⑧12)V3 ⑧(2⊕V3)≡(1⑧H2)⊕(1⑧13) 证明利用张量积的定义性质 12.2.2线性变换的张量积的定义 定义125线性变换的张量积 设H,V2为K-线性空间,A为V上的线性变换,B为V2上的线性变换。定义A和B 的张量积(记为A②B)为V⑧V2上的线性变换 A⑧B:V⑧V2→VH2 a⑧B→A(a)⑧B(B)(再作K一线性扩充) 易验证A⑧B确实是V⑧V2上的线性变换。 命题线性变换的张量积的五条性质 1(AB)⑧C=A②(B⑧C) (ABC分别为V2,3上的线性变换(V1⑧H2)⑧V3=V⑧(V2⑧V3) 2A②(B1+B2)=A⑧B1+A⑧B2(A∈End(V1),B1,B2∈End(2) 3(A1+A2)B=A1⑧B+A2⑧B(A1,A2∈End(1).B∈End(V2) 4(A1⑧B1XA2⑧B2)=A1A2②B1B2(A1A2∈End(1).B1,B2∈End(V2) 5若A,B可逆,则A⑧B可逆且(A⑧B)=A⑧B 证明因为V⑧H2中每个向量都可由v(u∈1,v∈V2)型的向量线性表出,所以只 要将上述等式两边都作用在u⑧ν上,证明所的结果相同就可以了。(证明由学生自己完成)

第二学期第二十八次课 命题 在同构意义下张量积满足交换律、结合律以及与直和的分配律，即 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V V V V V V V V V V V V V V V V V               证明 利用张量积的定义性质。 12．2．2 线性变换的张量积的定义 定义 12.5 线性变换的张量积 设 1 2 V V, 为 K − 线性空间，A 为 V1 上的线性变换，B 为 V2 上的线性变换。定义 A 和 B 的张量积（记为 A  B）为 V V 1 2  上的线性变换： A  B ：V V V V 1 2 1 2  →     A ( )   B ( )  (再作 K − 线性扩充) 易验证 A  B 确实是 V V 1 2  上的线性变换。 命题 线性变换的张量积的五条性质 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 1 ( ( ) ( , , , , ( ) ( )) 2 ( ) ( ( ), , ( )) 3 ( ) ( , ( ), ( )) 4 ( )( ) ( , ( V V V V V V V V V End V End V End V End V End V   =         + =  +    +   +      =   1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 A B C A B C A B C A B B A B A B A B B A A B=A B A B A A B A B A B A A B B A A ） 分别为 上的线性变换 2 ), , ( )) , (  End V   =  1 2 -1 -1 -1 B B 5 若 可逆，则 可逆且 ） A B A B A B A B 证明 因为 V V 1 2  中每个向量都可由 1 2 u v u V v V    ( , ) 型的向量线性表出，所以只 要将上述等式两边都作用在 u v  上，证明所的结果相同就可以了。（证明由学生自己完成）