中国人民大学：《金融数学》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 风险、风险厌恶与随机占优

第二章风险、风险厌恶与随机占优 资产定价理论的微观经济基础 ●经济理论通常假定:投资人是凤险厌恶的 ●风险有多种定义,不确定性 ●从定量模型化解释风险 投资人面临风险的决策(第一节) ● Rothschild和 Stiglitz提出随机占优(第节)

第二章风险、风险厌恶与随机占优 资产定价理论的微观经济基础 ⚫ 经济理论通常假定：投资人是风险厌恶的 ⚫ 风险有多种定义，不确定性 ⚫ 从定量模型化解释风险 ⚫ 投资人面临风险的决策（第一节） ⚫ Rothschild和Stiglitz提出随机占优（第二节）

第二章第一节风险与风险偏好 ●对风险的一般认识: 经济系统中状态变量的事前不确定性 ●对风险的厌恶引发投资人的投资组合的分散化 问题以及对所需交换的资产的合理定价问题 ●金融经济学框架的核心问题: 如何分散风险 如何确定风险的合理价格

⚫ 对风险的一般认识： ⚫ 经济系统中状态变量的事前不确定性 ⚫ 对风险的厌恶引发投资人的投资组合的分散化 问题以及对所需交换的资产的合理定价问题 ⚫ 金融经济学框架的核心问题： ⚫ 如何分散风险 ⚫ 如何确定风险的合理价格 第二章第一节 风险与风险偏好

风险厌恶、风险中性与风险偏好 的数学表述 ●伯努利( Bernoulli)效用函数(确定值) ●Von- Neumann- Morgenstern预期效用函数 “预期”有“期望”之义,随机变量的数学 期 Page Mh E(u(x)=u(F)=u(x)dF(x) u(E(x)=uJxP(x)表示确定收益

风险厌恶、风险中性与风险偏好 的数学表述 ⚫ 伯努利（Bernoulli）效用函数（确定值） ⚫ Von-Neumann -Morgenstern预期效用函数 ⚫ “预期”有“期望”之义，随机变量的数学 期望 ⚫ 例2.1。Page 46 u( ( )) u[ ( )], 表示确定收益 ( ( )) ( ) ( ) ( )   = = = E x xdF x E u x u F u x dF x

风险厌恶的数学定义 E(()=(()≤(B()=以∫xdr( 如果F(x)是二项分布,则, ●风险厌恶伯努利效用函数为凹函数 严格风险厌恶严格不等式,u>0,u3<0 ●定理21:对任意F,有 ●风险厌恶—效用函数为严格凹函数 ●证明需要使用 Jensen不等式。 同样:可以定义风险中性和风险偏好

风险厌恶的数学定义 ⚫ 如果F(x)是二项分布，则， ⚫ 风险厌恶——伯努利效用函数为凹函数 ⚫ 严格风险厌恶——严格不等式，u’>0，u’’<0 ⚫ 定理2.1：对任意F，有 ⚫ 风险厌恶——效用函数为严格凹函数 ⚫ 证明需要使用Jensen不等式。 ⚫ 同样：可以定义风险中性和风险偏好 ( ( )) ( ) ( ) u( ( )) u( ( ))   E u x = u x dF x  E x = xdF x

绝对风险厌恶与风险溢价 ●对风险厌恶程度有大有小,绝对风险厌恶, ●风险溢价p,对风险的补偿,数学定义如下 (X-)=(E(X)-)=E((X) "(X)x=E(X) (X) ●Pra(964)定义绝对风险厌恶系数 (X)= "(X)2O (X)a2 ●绝对风险厌恶系数越大,越厌恶风险,必需 给予的溢价补偿也越大

绝对风险厌恶与风险溢价 ⚫ 对风险厌恶程度有大有小，绝对风险厌恶， ⚫ 风险溢价ρ，对风险的补偿，数学定义如下 ⚫ Pratt(1964)定义绝对风险厌恶系数 ⚫ 绝对风险厌恶系数越大，越厌恶风险，必需 给予的溢价补偿也越大 ) ~ , ( 2 ( ) ( ) )) ~ ) ) ( ( ~ ( ) ( ( 2 X E X u X u X u X u E X E u X =    − = − =      2 2 ( ) ( ) ( )    =   = − u X u X ra X

相对风险厌恶与风险溢价 假设:X=E(X)(1+E)=X(1+E) l(X(1-P)=E((X)=E((X(+e) ●Pra1964)定义相对风险厌恶系数 Xou"() ×02×RR4 2u'( X×t"(X RRA (X) ●相对风险厌恶系数越大,所要求的单位 方差的相对风险溢价补偿也越高

相对风险厌恶与风险溢价 ⚫ Pratt(1964)定义相对风险厌恶系数 ⚫ 相对风险厌恶系数越大，所要求的单位 方差的相对风险溢价补偿也越高 )(1 ) (1 ) ~ ( ~ 假设：X = E X + = X + )) ( ( )(1 )) ~ u(X (1−  ˆ)) = E(u(X = E u X + ( ) ( ) , 2 1 2 ( ) ( ) ˆ 2 2 u X X u X RRA RRA u X X u X    = − =     = −     

风险溢价和风险厌恶对投资人 决策影响的实例说明 ●例22。当前财富为W=a+(W-a) ●今后财富X=W-a+a(1+r)=W+a,优化问题 max E(u(X)= max E(u(w +ar)) 0≤a≤ 0≤a≤ 关于a是凹函数,一阶导数=0,(217 ●a*是解,是W的函数, (217)中对W求导数, (2.18)

风险溢价和风险厌恶对投资人 决策影响的实例说明 ⚫ 例2.2。当前财富为W=a+(W－a) ⚫ 今后财富X＝W－a+a(1+r)=W+ar，优化问题 ⚫ 关于a是凹函数，一阶导数＝0，（2.17） ⚫ a＊是解，是W的函数， ⚫ （2.17）中对W求导数， ⚫ （2.18）。 )) ~ )) max ( ( ~ max ( ( 0 0 E u X E u W ar a W a W = +    

●随W的变化,风险厌恶投资者的a的动态变化 E[F×t"(Wa dWE[F2×t'(W+a ●假设绝对风险厌恶系数不随W增加而增加 ●对r>0和r<0,都可得到 (2.20a) ●从(2.17)得(2.21) E[P×l"(W+am)≥0 ●u是凹函数,得(2.21a) E[r2×l"(W+ar)<0

⚫ 随W的变化，风险厌恶投资者的a的动态变化 ⚫ 假设绝对风险厌恶系数不随W增加而增加 ⚫ 对r＞0和r＜0，都可得到 ⚫ （2.20a） ⚫ 从（2.17）得（2.21） ⚫ u是凹函数，得（2.21a） )] ~ ''( ~[ )] ~ ''( ~[ 2 E r u W ar E r u W ar dW da  +  + = − )] 0 ~ ''( ~ E[r u W + ar  )] 0 ~ ''( ~[ 2 E r u W + ar 

●最后 ≥0 ●风险厌恶的投资人投资于风险资产的财富随着 总财富的上升而增加 关于绝对风险厌恶系数不随W增加而增加 ●经过推导可知,要求三阶导数为正数 ●度量风险厌恶在于比较不同投资人对同一风险 决策的态度。 ●在资产定价理论中,一般假定存在一个典型性 投资人。需要处理典型投资人对不同资产的风 险与收益的判断,即资产风险的度量问题

⚫ 最后 ⚫ 风险厌恶的投资人投资于风险资产的财富随着 总财富的上升而增加 ⚫ 关于绝对风险厌恶系数不随W增加而增加 ⚫ 经过推导可知，要求三阶导数为正数 ⚫ 度量风险厌恶在于比较不同投资人对同一风险 决策的态度。 ⚫ 在资产定价理论中，一般假定存在一个典型性 投资人。需要处理典型投资人对不同资产的风 险与收益的判断，即资产风险的度量问题。 0 *  dW da

第一章第二节随机占优 ●怎样才能认为资产A比资产B更具风险? ●简化的风险比较:均值-方差效用 用方差作为唯一标准不可行(期望可能越大 即使一种资产X预期收益等于另一资产Y,而X 方差小于Y,风险厌恶者也不一定偏好于Ⅹ ●如下面的例子

第一章第二节 随机占优 ⚫ 怎样才能认为资产A比资产B更具风险？ ⚫ 简化的风险比较：均值-方差 效用 ⚫ 用方差作为唯一标准不可行（期望可能越大） ⚫ 即使一种资产X预期收益等于另一资产Y，而X 方差小于Y，风险厌恶者也不一定偏好于X ⚫ 如下面的例子