《近世代数基础》课程定理定义及证明题解_106

定义1如果ya1,a2∈A,b∈B,都有:b(a1)a2)=(ba)(⊙a2),则称○,田适 合第一分配律 例1假如考察集合都是全体实数的集合,和就是普通的乘法和加法,那么上式就变成 b(a,+a2)=ba, +ba 例2假如考察集合都是实数域上全体n阶方阵的全体,即2”,⊙和田就是矩阵的乘法与加法,那 么上式就变成 B( I+A=BAI+BA2 例3假如考察集合都是C,b,⊙和田就是普通函数的乘法与加法,那么上式就变 g(x)(1(x)+f(x)=g(x)(x)+g(x)f2(x) 定理1假如适合结合律,而且⊙,由适合第一分配律,那么Vb∈B,,“2 都有 boa1④…由a2)=(b⊙a1)…田(b⊙a2 证明:n=2时,结论成立: 假设对“1,“2,…的个数只有n-1个,结论成立: 现在看有n个2的情形 bo(a1…a2)=b[(a1出41)的an]适合结合律 =[b(a1田…田a31)][ba2] (分配律) [(b⊙a)…田6a2)b⊙a,】(归纳假设) (b⊙a1)…(b⊙an) (结合律)

定义 1 如果 ， A， B，都有： ，则称 ， 适 合第一分配律。 例 1 假如考察集合都是全体实数的集合， 和 就是普通的乘法和加法，那么上式就变成： 。 例 2 假如考察集合都是实数域上全体 n 阶方阵的全体，即 ， 和 就是矩阵的乘法与加法，那 么上式就变成： B(A +A )=BA +BA 。 例 3 假如考察集合都是 C[a，b]， 和 就是普通函数的乘法与加法，那么上式就变成： 。 定理 1 假如 适合结合律，而且 ， 适合第一分配律，那么 B， ， ， ， A， 都有： 。 证明：n＝2 时，结论成立； 假设对 ， ， 的个数只有 n－1 个，结论成立； 现在看有 n 个 的情形： （ 适合结合律） （分配律） （归纳假设） （结合律）

定义2如果ya1,a2∈A,b∈B,都有:(a1a2)b=(a1⊙b)(2⊙b),则称○,田适 合第二分配律 定理2假如出适合结合律,而且,田适合第二分配律,那么Vb∈B,a1,a2 (a1…a2)⊙b=(a1⊙b)④…(a2⊙b

定义 2 如果 ， A， B，都有： ，则称 ， 适 合第二分配律。 定理 2 假如 适合结合律，而且 ， 适合第二分配律，那么 B， ， ， ， A， 都有：