《近世代数基础》课程定理定义及证明题解_211

定理1一个群G同它的每一个商群G/同态。 证明::GG/N 则9是G到G/N的一个满射,且 ab、ablI=(aID(bN) 定义1假定是群G到的一个同态满射,(的单位元e在之下的所有逆象所作成的G的子集叫 做同态满射的核:记为ep 定理2假定G和(是两个群,并且G与同态,那么这个同态满射的核N是G的一个不变子群,并 且 GINEG 证明: 百,b、百 a,b∈N→ab∈N ①N是G的一个子群 n∈M,a∈G→ana2∈N ②N是G的一个不变子群。 vaIa=(a)(a∈G) 00N=b→ba∈N→b2a=可→l=b, v是G/N到 的满射

定理 1 一个群 G 同它的每一个商群 同态。 证明： ：G——> ——> 则 是 G 到 的一个满射，且 ——> 定义 1 假定 是群 G 到 的一个同态满射， 的单位元 在 之下的所有逆象所作成的 G 的子集叫 做同态满射 的核；记为 。 定理 2 假定 G 和 是两个群，并且 G 与 同态，那么这个同态满射的核 N 是 G 的一个不变子群，并 且 证明： ： ——> ， ——> ——> ① N 是 G 的一个子群。 ——> ， ——> ——> ②N 是 G 的一个不变子群。 ③同构。 ： ——> (i) ， (ii) ： ——>给的 是 到 的满射；

maN≠b→bagM→b≠→a≠b (iv)在中之下 aNbn= abn ab=ab GINEG 定理3假定G和(是两个群,并且G与同态。那么在这个同态满射之下的 (G的一个子群H的象且是G的一个子群 i)G的一个不变子群N的象N是(的一个不变子群。 证明;(9:a_a,bb(a,b∈B ,b∈豆→改∈豆 (a∈G,n∈I) ∈G,万∈时→区万a∈时 定理4假定G和G是两个群,并且G与G同态。那么在这个同态满射之下的 G的一个子群H的逆象H是G的一个子群 (i)(的一个不变子群N的逆象N是G的一个不变子群 证明(9a_,b_b a,b∈H→ab∈H 互n、F

(iii) (iv)在 之下， ——> 。 定理 3 假定 G 和 是两个群，并且 G 与 同态。那么在这个同态满射之下的 (i)G 的一个子群 H 的象 是 的一个子群； (ii)G 的一个不变子群 N 的象 是 的一个不变子群。 证明：(i) ： ——> ， ——> ——> (ii) ——> ， ——> ——> 定理 4 假定 G 和 是两个群，并且 G 与 同态。那么在这个同态满射之下的 (i) 的一个子群 的逆象 H 是 G 的一个子群； (ii) 的一个不变子群 的逆象 N 是 G 的一个不变子群。 证明：(i) ： ——> ， ——> ——> ； (ii) ——> ， ——>

a∈G,n∈N→aaeN

—— >