《近世代数基础》课程定理定义及证明题解_109

定义1如果A到A间的一个一一映射又是一个同态映射(关于°和来说)则称是一个同构映射。 此时也称对于代数运算°和可来说,A与同构,记为:A2A 例1A={1,2,3},A={4,5,6} 123 0456 2|333 5666 3333 6666 1—>4,2>5,3>6,是一个同构映射 因为:ab=3→6=a5b 例2A=所有实数},运算:普通加法,真={所有正实数},运算:普通乘法 v:a_e2(e是无理数),是一个同构映射。 证明:(1)是单射,因为a,b∈A b,则e2xe (2)是满射,因为Vb∈A,存在a=lnb,使 wu a=In b va,b∈A 假定对于代数运算°和可来说,A和A同构。那么对于代数运算°和百来说,A与A这两个集合,抽象 地看,没有什么区别(只有命名上的不同)。若一个集合有一个只与这个集合的代数运算有关的性质,那 么另一个集合有一个完全类似的性质。 定义2对于代数运算°和°来说的一个A与A间的同构映射叫做一个对于°来说的A的自同构 例3A={1,2,3},代数运算°由下表给定

定义 1 如果 A 到 间的一个一一映射 又是一个同态映射（关于 和 来说）则称 是一个同构映射。 此时也称对于代数运算 和 来说，A 与 同构，记为： 。 例 1 A={1，2，3}， ={4，5，6}； ：1——>4，2——>5，3——>6，是一个同构映射。 因为： 。 例 2 A={所有实数}，运算：普通加法， ={所有正实数}，运算：普通乘法； ： ——> （ 是无理数），是一个同构映射。 证明：(1) 是单射，因为 ，若 ，则 ； (2) 是满射，因为 ，存在 ，使 ： ——> ； (3) ， ——> 。 假定对于代数运算 和 来说，A 和 同构。那么对于代数运算 和 来说，A 与 这两个集合，抽象 地看，没有什么区别（只有命名上的不同）。若一个集合有一个只与这个集合的代数运算有关的性质，那 么另一个集合有一个完全类似的性质。 定义 2 对于代数运算 和 来说的一个 A 与 间的同构映射叫做一个对于 来说的 A 的自同构。 例 3 A={1，2，3}，代数运算 由下表给定：

o123 1333 2333 3333 那么,:1>2,2>1,33,是一个对于O来说的A的自同构

那么， ：1——>2，2——>1，3——>3，是一个对于 来说的 A 的自同构