《近世代数基础》课程定理定义及证明题解_209

a~b,当而且只当ab∈的时候 ∈H b∈H→(ab2)2=ba∈H ~b→b mab+∈H,bceH→(ab)(b2)=ac∈H a b 定义1由上面的等价关系~所决定的类叫做子群H的右陪集。包含元a的右陪集用符号Ha来表示 例1G=3={(1,(12),(13),(23),(123),(132)},H={(1),(12)},那么 H(1={(1),(12)},H(13)={(13),(123)},H(23)={(23),(132)}, 定义2由等价关系~所决定的类叫做子群H的左陪集。包括元a的左陪集我们用符号aH来表示。 例2例1里的H的左陪集是 (1)H={(1),(12)},(13)H={(13),(132)},(23H={(23),(123)}。 定理1一个子群H的右陪集的个数和左陪集的个数相等:它们或者都是无限大,或者都有限并且相等 证明 0m-b=”e且=(b)beB=a-b (i)"的任意元aH是的元Ha的象,所以是一个满射 aB→abH→(ab)2-ba→a且b互 定义3一个群G的一个子群H的右陪集(或左陪集)的个数叫做H在G里的指数 引理一个子群H与H的每一个右陪集Ha之间都存在一个一一映射

，当而且只当 的时候 I. ， II. ， III. ， ， 定义 1 由上面的等价关系 所决定的类叫做子群 H 的右陪集。包含元 的右陪集用符号 H 来表示。 例 1 G= ={(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，H＝{(1)，(12)}，那么 H(1)={(1)，(12)}， H(13)={(13)，(123)}， H(23)={(23)，(132)}， 定义 2 由等价关系 所决定的类叫做子群 H 的左陪集。包括元 的左陪集我们用符号 H 来表示。 例 2 例 1 里的 H 的左陪集是 (1)H={(1)，(12)}，(13)H={(13)，(132)}，(23)H={(23)，(123)}。 定理 1 一个子群 H 的右陪集的个数和左陪集的个数相等：它们或者都是无限大，或者都有限并且相等。 证明： ：H ——> H (i)H =H ； (ii) 的任意元 H 是 的元 H 的象，所以 是一个满射； (iii) 。 定义 3 一个群 G 的一个子群 H 的右陪集(或左陪集)的个数叫做 H 在 G 里的指数。 引理 一个子群 H 与 H 的每一个右陪集 H 之间都存在一个一一映射

定理2假定H是一个有限群G的一个子群。那么H的阶基和它在G里的指数都能整除G的阶N,并 证明:G的N个元被分成个右陪集,而且由引理,每一个右陪集都有n 定理3一个有限群G的任一个元a的阶都整除G的阶。 证明:a生成一个阶是n的子群,由以上定理,2整除G的阶

定理 2 假定 H 是一个有限群 G 的一个子群。那么 H 的阶 和它在 G 里的指数 都能整除 G 的阶 N，并 且 N= 证明：G 的 N 个元被分成 个右陪集，而且由引理，每一个右陪集都有 个元，所以 N= 定理 3 一个有限群 G 的任一个元 的阶 都整除 G 的阶。 证明： 生成一个阶是 的子群，由以上定理， 整除 G 的阶