《近世代数基础》课程定理定义及证明题解_108

定义1A到A的一个映射,叫做一个对于代数运算°和可来说的A到A的同态映射,如果在之 a bb 就有ab)ab,或(ab)=(a)w(b) 看以下集合和代数运算: A=(所有整数},A的代数运算°是普通加法, 瓦=(1,-1),E的代数运算可是普通乘法 例11:a_)1(a是A的任一元) 是一个A到A的同态映射。 是一个A到A的映射,显然。对于A的任意两个整数a和b来说,我们有 (av(b) 例22 1,若是偶数 a是奇数 则2显然是满射,又 va ben 都是偶数,则a b +b 都是奇数,则a b_)-1,a+b_)1=(-1×x(-1 若a是奇数,b是偶数,则a)-1,b +b )-1=(-1)×1, 若4是偶数,b是奇数,则a)1,b_)-1,a+b_)-1=1×(-1) 所以W2是一个A到A的同态映射

定义 1 A 到 的一个映射 ，叫做一个对于代数运算 和 来说的 A 到 的同态映射，如果在 之 下： ： ——〉 ， ——〉 ， 就有 ——〉 ，或 。 看以下集合和代数运算： A={所有整数}，A 的代数运算 是普通加法， ={1，－1}， 的代数运算 是普通乘法。 例 1 ： ——〉1 （ 是 A 的任一元） 是一个 A 到 的同态映射。 是一个 A 到 的映射，显然。对于 A 的任意两个整数 和 来说，我们有 ——〉1， ——〉1， ——〉1=1 1= 。 例 2 ： ——〉1， 若 是偶数 ——〉－1， 若 是奇数 则 显然是满射，又 ， A， 若 ， 都是偶数，则 ——〉1， ——〉1， ——〉1=1 1， 若 ， 都是奇数，则 ——〉－1， ——〉－1， ——〉1=(－1) (－1)， 若 是奇数， 是偶数，则 ——〉－1， ——〉1， ——〉－1=(－1) 1， 若 是偶数， 是奇数，则 ——〉1， ——〉－1， ——〉－1=1 (－1)， 所以 是一个 A 到 的同态映射

例33:a_)-1,Va∈A,则3不是A到的同态映射。 因为a_)-1,b)-1,a+b_)-1=(-1)X(-1) 定义2假如对于代数运算°和5来说,有一个A到的满射的同态映射存在,则称这个映射是一个同 态满射,并说,对于代数运算°和来说,A与互同态。 定理1假设代数运算°和°来说,A与A同态,则①若°适合结合律,则也适合结合律;()若°适 合交换律,则也适合交换律 证明:设A到A的同态满射为,V互,b,E∈,因为是满射,所以存在Va,b,C∈ 百}百 (aob)oc,(aob)ac_(a0b)aa (ab)。=a0(bc),所以(a3b)2a5(ba) b)a可b,boa_)ba 而aob=boa,所以a可b=b 定理2假定,⊙,田都是集合A的代数运算,⊙,④都是集合的代数运算,并且存在一个A到A ⊙,田适合第一分配价,⊙,也适合第一分配律:(若,田适合第二分配的,员若 的满射,使得A与4对于代数运 来说同态,对于代数运算 团由 来说也同态,那么,( 适合 第二分配律 证明:只证明(,(i)可以完全类似证明。 看丑的任意三个元,并且假定

例 3 ： ——〉－1， A，则 不是 A 到 的同态映射。 因为 ——〉－1， ——〉－1， ——〉－1 (―1) (―1)。 定义 2 假如对于代数运算 和 来说，有一个 A 到 的满射的同态映射存在，则称这个映射是一个同 态满射，并说，对于代数运算 和 来说，A 与 同态。 定理 1 假设代数运算 和 来说，A 与 同态，则(i) 若 适合结合律，则 也适合结合律；(ii) 若 适 合交换律，则 也适合交换律。 证明：设 A 到 的同态满射为 ， ， ， ，因为 是满射，所以存在 ， ， A，使 ： ——〉 ， ——〉 ， ——〉 (i) ——〉 = ， ——〉 = ， 而 = ，所以 = 。 (ii) ——〉 ， ——〉 ， 而 = ，所以 = 。 定理 2 假定， ， 都是集合 A 的代数运算， ， 都是集合 的代数运算，并且存在一个 A 到 的满射 ，使得 A 与 对于代数运算 ， 来说同态，对于代数运算 ， 来说也同态，那么，(i) 若 ， 适合第一分配律， ， 也适合第一分配律；(ii) 若 ， 适合第二分配律， ， 也适合 第二分配律。 证明：只证明(i)，(ii)可以完全类似证明。 看 的任意三个元，并且假定

b,c_)a(a,b,c∈A 那么 a⊙(bc)→a(b) (a⊙b)(a⊙c)→(ab)(a2) 但a⊙6c)=(a⊙b)(a⊙c) 所以 a6(b2)(bb)由(a乙)

： ——〉 ， ——〉 ， ——〉 那么 但 ＝ 所以 ＝