兰州大学：《矩阵理论》第五讲 内积空间

矩阵理论-第五讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-1

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-1 矩阵理论-第五讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年

上节内容回顾 Hamilton-Cayley定理 任一方阵都是它的特征多项式的根 多项式的带余除法 方阵的零化多项式 方阵的最小多项式 多项式矩阵的逆、单模矩阵 多项式矩阵的互质性简介 右公因子 左公因子 最大右公因子gcrd gcrd的构造定理 ·多项式矩阵的既约性简介 多项式矩阵的行次数和列次数、行次表示式和列次表示式 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲2

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-2 上节内容回顾 • Hamilton-Cayley定理 – 任一方阵都是它的特征多项式的根 – 多项式的带余除法 • 方阵的零化多项式 • 方阵的最小多项式 • 多项式矩阵的逆、单模矩阵 • 多项式矩阵的互质性简介 – 右公因子 – 左公因子 – 最大右公因子gcrd – gcrd的构造定理 • 多项式矩阵的既约性简介 – 多项式矩阵的行次数和列次数、行次表示式和列次表示式

内积空间 内积空间 设X是实数域或复数域上的线性空间,其中定义了一个二元数值 函数 X×X→>F 满足下列条件:Va,B∈F,Vx,y,z∈X 1.对第一变元的线性: a+,=)=a(x,)+B(y 2.共轭对称性: 3.正定性 (x,x)≥0且(xx)=0分x=0 则称此二元值函数°是X上的内积( Inner product),定义了 内积的空间称为内积空间。F=R时称X为实内积空间,F=C时 称为复内积空间 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-3

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-3 内积空间 • 内积空间 设X是实数域或复数域上的线性空间，其中定义了一个二元数值 函数 满足下列条件： 1. 对第一变元的线性： 2. 共轭对称性： 3. 正定性： 且 则称此二元值函数 是X上的内积（Inner product），定义了 内积的空间称为内积空间。F = R时称X为实内积空间，F= C时 称X为复内积空间 • , • ,  F,x, y,z  X x + y,z = x,z +  y,z x, y = y, x x, x  0 x, x = 0  x = 0 • , • : X  X → F

内积空间 由内积的定义:{):XxX→FVa,B∈F,Vx,y∈ 对第一变元的线性 ax+,)=ax2=)+B(y 2.共轭对称性: x,y 3.正定性 (x,x)≥0且(x,x)=0台x=0 中的条件1和2,可得 4.对第二变元的共轭线性 (x,+B)=a(x,y)+B(x,-2) (x,+B)=(ay+,x)=a(y,x)+B(=,x) a(y=)+B(=,x)=a(yx)+B(,x)=a(x,y)+B(x,-) 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲4

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-4 内积空间 由内积的定义： 1. 对第一变元的线性： 2. 共轭对称性： 3. 正定性： 且 中的条件1和2，可得 4. 对第二变元的共轭线性 ,  F,x, y,z  X x + y,z = x,z +  y,z x, y = y, x x, x  0 x, x = 0  x = 0 • , • : X  X → F x,y + z = x, y +  x,z y z z x y x z x x y x z x y z y z x y x z x , , , , , , , , , ,             = + = + = + + = + = +

内积空间 内积的定义:():X×X→FVa,B∈F,Vxy∈ 对第一变元的线性 ax+,)=ax2=)+B(y 2.共轭对称性: x,y 3.正定性 (x,x)≥0且(x,x)=0分x=0 0,0)=0 由条件1和2,可得 4.对第二变元的共轭线性 由条件1和2,可得 (x,O)=(0,y)2=0 (x0)=(x,x+(-x)=(x,x)-(x,x)=0 (0,y)=(y+(-y)y)=(y,y)-(yy)=0 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲5

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-5 内积空间 内积的定义： 1. 对第一变元的线性： 2. 共轭对称性： 3. 正定性： 且 由条件1和2，可得 4. 对第二变元的共轭线性 由条件1和2，可得 5. ,  F,x, y,z  X x + y,z = x,z +  y,z x, y = y, x x, x  0 x, x = 0  x = 0 • , • : X  X → F x,0 = 0, y = 0 x,0 = x, x +(−x) = x, x − x, x = 0 0, y = y +(−y), y = y, y − y, y = 0 0,0 = 0

内积空间 内积空间举例 1.n维欧氏ucld空间R": x=(5122,…,n) (x,y)=∑15 y=(7,2…1n) 2.n维复欧氏(Eucd空间m: (xy)=∑5 3.实空间 此空间中的点为无穷维向量,每个向量的所有坐标是平方可 和的:>2 S1,n+=1 取p=2,(x,y)收敛一(x,x):XxX→F 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲6

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-6 内积空间 – 内积空间举例： 1. n维欧氏(Euclid)空间R n： 2. n维复欧氏(Euclid)空间C n： 3. 实l 2空间： 此空间中的点为无穷维向量，每个向量的所有坐标是平方可 和的： 取p = 2, 收敛 = = n i i i x y 1 ,  = = n i i i x y 1 ,  ( , , , ) 1 2 n x =     ( , , , ) 1 2 n y =     ( , , , , ) x = 1  2  i    +  =1 2 i i   = = 1 , i i i x y  ( , , , , ) y = 1 2  i  ( , , , , ) z =  1  2   i  p q q i i p i i i i i 1 1 ( ) ( )  1  1  1  =  =  =     1 1 1 1, + = p q p x, y x, x : X  X → F Hölder不等式：

内积空间 ax+角,2)=∑1(a5+n)1=∑(al51+Bn,) ∑5"+B215=a(x,)+B(y,=) Cauchy- Schwarz inequality(柯西许瓦兹不等式) 设():XxX→F是X上的内积,则yxy∈X xy)≤(x,x)(y,y 证明:当x,)其中之一为零向量时,等式成立。现设y≠0,a∈F有 0≤(x-∞y,x-y)=(x,x-ay)-a(yx-ay (x, x-a(x,y -a(,x)=a(y,y) 令 DX <(X,X DX y, y,y y,y y,y y,y 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲7

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-7 内积空间 – Cauchy-Schwarz inequality (柯西-许瓦兹不等式) 设 是X上的内积，则 证明：当x, y其中之一为零向量时，等式成立。现设 ， 有 令 ， x z y z x y z i i i i i i i i i i i i i i i , , , ( ) ( ) 1 1 1 1                     = + = + + = + = +      =  =  =  = • , • : X  X → F x, y  X x, y x, x y, y 2  , , ( , , ) 0 , , , x x x y y x y y x y x y x x y y x y         = − − −  − − = − − − y  0  F , ) , , ( , , , , , , 0 , y y y y x y y x y y x y x y y y x y  x x − − − y y x y , ,  =

赋范空间 0≤(x, x,yrx,y)x,yrx,y)(x,y)(x,y v,y(y,y (x,y)(x,y) DX =(x,x X.x xy)≤(x,x)(y,y y,y 向量范数(Norm) 设X是数域F上的线性空间,定义在X上的实值函数:X→R如果 满足以下条件 三角形不等式‖x+y≤x+ 绝对齐性 正定性 ≥0,且=0 0 则称此实值函数是X上的范数(Norm)。带有给定范数的线性空间 (X,|l)称为范空间 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲8

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-8 赋范空间 – 向量范数（Norm） 设X是数域F上的线性空间，定义在X上的实值函数 如果 满足以下条件 • 三角形不等式 • 绝对齐性 • 正定性 ，且 则称此实值函数是X上的范数（Norm）。带有给定范数的线性空间 称为赋范空间。 y y x y x x y y x y x y x x y y y y x y y y x y y y x y x y y y x y x y x x , , , , , , , , , , , , , , , , , , 0 , 2 = − = −  − − + (X, • ) • : X → R x + y  x + y x =   x x  0 x = 0  x = 0 x, y x, x y, y 2 

赋范空间 定义了范数,即可定义度量d(x,y)Ax-川x,y∈X 有了度量,即可定义极限、进而定义收敛、连续性等。有了极限和收敛 即可定义 Cauchy列,定义了 Cauchy列,即可判断空间的完备性。 赋范空间举例n维复 Euclid空间C 在C的内积定义 (x,y)=∑57 x,xx,x 的基础上,定义 对欧氏空间,内积的模 2=(x)3=(∑k)方不大于长度平方之积 易验证,此范数满足范数的3个条件,称为向量x的2-范数或长度。 x,y∈X|x+y12=(x+y,x+y)=(x,x)+(x,y)+(y,x)+( c2+2Re(x,y)+|y2 由 Cauchy- schwarz.不等式 Re(x,y)sx,yy=((x,Xx,v)2=lily 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲9

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-9 赋范空间 – 定义了范数，即可定义度量 有了度量，即可定义极限、进而定义收敛、连续性等。有了极限和收敛 即可定义Cauchy列，定义了Cauchy列，即可判断空间的完备性。 – 赋范空间举例——n维复Euclid空间Cn 在Cn的内积定义 的基础上，定义 易验证，此范数满足范数的3个条件，称为向量x的2-范数或长度。 由Cauchy-schwarz不等式 d(x, y) x − y x, y X 2 1 2 1 , ( ) 2 2 =1 = = n i i x x x  = = n i i i x y 1 ,  2 2 2 2 2 2 2Re , , , , , , x x y y x y x y x y x x x y y x y y = + + + = + + = + + + 2 2 2 1 Re x, y  x, y = ( x, y x, y ) = x y x, y x, x x, x 2  对欧氏空间, 内积的模 方不大于长度平方之积 x, y  X

赋范空间 x+y2=|×2+2Re(x,y)+p1≤12+215+2+y2 (1x2+|y ≤(a,ax)2=(ac(x,x )3=(a2(x,x) ax,x)2=all n维复 Euclid空间C Vx∈ln,定义 则是范数,(C",)是带有范数的赋范空间1范数 Vx,y∈X,由绝对值不等式,条件很容易验证 x+y=∑+nl∑(引+m) 同样可验证条件2、3 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-10

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-10 赋范空间 – n维复Euclid空间Cn ，定义 则 是范数， 是带有范数 的赋范空间 ，由绝对值不等式，条件1很容易验证： 同样可验证条件2、3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2Re , 2 x y x y x x y y x x y y = + + = + +  + + 2 2 2 x + y  x + y 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 , , ( , ) ( , ) x x x x x x x x x x        =  = = p xl = = n i i x 1 1  1 x ( , ) 1 C x n 1 x 1-范数 x, y  X 1 1 1 1 1 1 1 ( ) x y x y n i i n i i n i i i n i i i = + = + + = +  +     = = = =      