《微分方程》第七讲 解的存在唯一性定理与逐步逼近法

第七讲

第七讲

第三章一阶微分方程的解的存 在性定理 53.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法 532解的延拓 53.3解对初值的连续性和可微性定理 534奇解

第三章 一阶微分方程的解的存 在性定理 §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 §3.2 解的延拓 §3.3 解对初值的连续性和可微性定理 §3.4 奇解

53.1解的存在唯一性定理 与逐步逼近法

§3.1 解的存在唯一性定理 与逐步逼近法

问题的提出:在前一章中,我们介绍了能用初等方法求解的一阶方程 的几种类型,但同时指出,大量的一阶微分方程是不能用初等方法求 出其通解的.另一方面,实际问题所需要的往往是要求满足某种初始 条件的解.因此现在我们把注意力集中在Cauc问题 f(x, y) y(xo)=y 的求解上.与代数方程类似,对于不能用初等方法求解的微分方程, 我们往往用数值法求解(这是以后要学的计算方法课程的内容之一) 在用数值法求Cauc问题解之前,需要在理论上先解决下面两个基 本问题

) Cauchy间题=(x》的解是否存在?如果解不存在要去求解 就毫无意义.以后我们将给出在相当一般的条件下,上述Cauc问题 的解是存在的 (2)若已知 Cauchy问题的解是存在的,我们进一步要问这样的解是否 唯一的?因为如果解是不唯一的由于不知道要确定哪一个解却要去 近似地确定它问题也是不明确的

下面我们就来介绍解的存在唯一性的条件.对于徽分方程 f(x,y) dx 及相应的cauc问题 x, R=((x,y)x-xo Isa,y-yo s5),* 其中a,b是固定的正数

定义1:设f(x,)在R上有定义.若存在L>0,对任意的 (x1),(x,y2)∈R,使得|f(x,y1)-f(x,y2)|L|y1-y2|, 则称f(x,y)在∫(xy)在R上关于y满足 Lipschitz条件,且L称为 Lipschitz常数 附注1:如果∫(x,y)在R上关于y满足Ichi条件,则∫(x,y)在R上 关于y是连续的有时也称为是 Lipschitz连续的;

附注2:对于给定在R上有定义的函数f(x,y),有根据定义去验证它是 否关于y满足 Lipschitz条件,般是困难的.下面我们给出在实际应 用中容易判断的两个充分条件: 结果1:如果∫(x,y)在R上关于y的偏导数J,(x,y)存在且有界,则 f(x)y)在R上关于y满足 Lipschif条件 结果2:如果f(xy)在R上关于y的偏导数(xy连续,则f(x)y)在R 上关于y满足 Lipschit条件

有了上面的准备知识后我们就可以叙述cauc问题解的存在唯 性定理. 定理1(存在唯一性定理)对于 Cauchy问题 f(x,y), (x,y)∈R=(x,y)x-xay-≤b).(1) y(x0)=y, 如果f(x,y)在R上连续且关于y满足 Lipschitz条件.令 b M=max I f(x, y),h=min a x√)eR M 则 Cauchy问题1)在区间-≤h上存在唯一解y=叭(x)

下面我们分五个命题来证明定理.为此先给出 定义2(积分方程如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积 分符号下含有未知函数则称这样数学关系式为一个积分方程 例如,y=+y就是一个简单的积分方程 定义3(积分方程的解):对于积分方程y=y+Jf(,yd,如果存在定义 在区间=[a,]上的一个连续函数y=g(x),使得 (x)=+f()d 在l上恒成立则称y=x为积分方程y=y+(yd的定义于上 的一个解