《微分方程》第十讲 解对初值的连续性和可微性定理（续）

第十讲

第十讲

二、解对初值和参数的连续性

二、解对初值和参数的连续性

在应用中,有时还需要研究含参数x的做分方程 f(x,y,3),(x,y,x)∈G2={(x,yx)|(x,y)∈G,x∈(a, 设f(x,y,x)在G2内连续,且在G2内一致地关于y满足局部 Lipschitz条 件即对任意的(x,y,x)∈G2,存在以(xy,x)为中心的球C及L,对任意的 (x,y1,x)、(x,y2,x)∈C,使得(xy1,x)-f(x,y2,列)≤y1-y2|,其中L是与x 无关的正数于是对任意的x∈(a,月),由解的存在唯一性定理, Cauch 问题: f(x,y, o) 存在唯一解y=g(x,x,,x)

类似于定理1与推论1,有

定理2(解对初值与参数的连续依赖性定理):对于定义区域G2中的微 分方程 =f(X,y a) 设f(xy,x)在G2内连续,且在G2内一致地关于y满足局部 Lipschitz条 件.如果(xy0,)∈G2且Cauc问题: =f(x,y,i y(xo)=yo 的解y=g(x,x0,0,x)在某个闭区间[a,上有定义,则对任意的g>0,存 在δ=6(g,a,b)>0,对任意的(xy,x)∈G1,只要 √(x-x)2+(y-y)2+(x-42)2≤,使得cacy间题 =f(x,y,) a y(x=y 的解y=q(xxx)在[a,b上也有定义,且对任意的x∈[a,],恒成立 P(x;x, y, 2)-P(x; xo, yo, ao)<E

推论2:设f(xy,x)在G1内连续,且在G2内一致地关于y满足局部 Lipschitz条件.则微分方程中=/(x,y)的解y=9(x,y,)作为 (x,x0,y,x)的函数在它的存在范围 x)|(x0,y,x)∈G,x∈(a(x0,y0,x),B 内是连续的,其中(a(xo,o,x,B(xo,y,x)是解y=g(x,x0,0,x)的饱和区

三、解对初值的可微性

三、解对初值的可微性

问题的提出:设∫(x,y)在G内连续且关于y满足局部 Lipschitz条件, 则微分方程 的解y=g(x,x0,y0)作为(x,x)的函数是否关于(x0y)具有可微性?同 样地设∫(x,y,)在G内连续,且在G内一致地关于y满是局部 Lipschitz条件,对于定义区域G2中的微分方程=f(x,y,x)的解 y=g(x,x,y0,x)是否关于(x,y0,x)具有可做性?

定理3(解对初值的可做性定理):设f(xy)在G内连续且关于y的偏导 数f(x,y)在G内连续,则微分方程=f(xy)的解y=(x,x0))作为 (x,x0,y)的函数在它的存在范围。 (x,x0,y0)(x0,y)∈G,x∈(a(xn,)),(x,y0 内是连续可微的,其中a(x0,B(x0y0).解y=(xx0)的饱和区

特别地,(x,x0))是 Cauch问题: dz af (x, p(x, xo, yo))z, z(x0)=-f(x0,y0) 的解而(x而,y)是Cauc问题 (x,g(x,x0,y0) no 的解