《微分方程》第十四讲 常系数线性微分方程的解法（续）

第十四讲

第十四讲

二、常系数非齐线性微分方程 的解法

二、常系数非齐线性微分方程 的解法

对于n阶常系数非齐线性微分方程=f(x),当然在求得它所 对应的齐线性方程x=0的一个基本解组后,可用常数变易求出 工[x=f(x)的一个持解从求的它的通解但当非次项f(x具有特殊 形式时有特殊的解法下面介绍这样的方法中的一种,即比较系数法

芙型I:f()=(b“++…+b。+bn), 结果3Lx]=(b+b+…+b1+b)具有形式 x(f)=f(Bt*+B a B.4+E) 的持解,其中k是4作为特征方程F(4≡x+a-+…+an=0的根的重 数(若石不是特征方程F(≡+a1x1+…+an=0的根,则取k=0),而 B,B,…,B是待定常数,它们可以通过比较系数来确定

例3求方程x-2-3x=32+1的通解 d +C 3

例4:求方程“-“=2的通解 dt dt x=+ct+C22+c2++ge-t++3601

例5求方程“x-2-3x=-的通解 +C

类型I:f()=[4(0s+(sim用e,其中a,B为常数,AO).B()是t 的实系数多项式,它们中的一个的次数为m,另一个的次数不超过m 结果4:[=[4()c0s度+B(1)im用e有形如 x=![P()cos A+g)sin ]e ce 的特解,其中k是=a+作为特征方程F()≡x+a-1+…+an=0的 根的熏数(若4不是特征方程F()=+ax1+…+an=0的根,则取 k=0),而P(x,gx是待定的m实系数多项式,它们的系数可以通过 比较系数法来确定.φ

例6求方程“2x+4+4=02的通解

例7:求方程“x+2x=3+t2+-2+c03x的通解