黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 积分（5.1）定积分的概念

第一节定积分的概念 巴一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 巴四、几何意义 巴五、小结思考题

庄=、问题的提出 实例1(求曲边梯形的面积 曲边梯形由连续曲线 y=∫(x y=∫(x)((x)≥0)、 工工工 x轴与两条直线x=a、 o a b x x=b所围成 上页

a b x y o A = ? 曲边梯形由连续曲线 实例1 （求曲边梯形的面积） y = f (x)( f (x)  0)、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成. 一、问题的提出 y = f (x)

用矩形面积近似取代曲边梯形面积 J J 0 b bx (四个小矩形) (九个小矩形) 然,小矩形越多,矩形总面积越接近 显 牛曲边梯形面积 ● 上页

a b x y a b x o y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形）

观察下列演示过程,注意当分割加细时, c矩形面积和与曲边梯形面积的关系 3个分割点的图示 1.(上和-下和) 1.05556(积分近似值) 播放 上页

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放

曲边梯形如图所示,在区间[a,b内插入若干 个分点,a=xn<x<x2<…<xn<x=b, 把区间分成ny 个小区间[x -19叫 长度为Ax2=x1-x1; 工工工 在每个小区间[x1,x 上任取一点2, ol a xr xi-5xi xn-b 以x1,x底,f()为高的小矩形面积为 A1=f(5;△x 上页

曲边梯形如图所示， a b x y o  i x1 xi−1 xi xn−1 ; [ , ] [ , ] 1 1 − −  i = i − i i i x x x x x a b n 长度为 个小区间 ， 把区间 分成 上任取一点 ， 在每个小区间 i xi xi  [ , ] −1 i i xi A = f ( ) 以[xi−1 , xi ]为底，f (i )为高的小矩形面积为 , [ , ] 0 1 2 1 a x x x x x b a b n n = < < < < < = 个分点， L − 在区间 内插入若干

图边梯形面积的近似值为 A≈∑∫(5)Ax 当分割无限加细,即小区间的最大长度 =max{△x1,△x2,…△xn} 趋近于零(→0)时, 午曲边梯形面积为A=im∑f(5)A i=1 上页

i n i A   f i x = ( ) 1  曲边梯形面积的近似值为 i n i A =  f i x = → lim ( ) 1 0   趋近于零 时， 当分割无限加细 即小区间的最大长度 ( 0) max{ , , } , 1 2 → =      x x L xn 曲边梯形面积为

庄实例2(求变速直线运动的路程) 设某物体作直线运动,已知速度y=v(t是 王时间间隔[,】上的一个连续函数,且 王v()20,求物体在这段时间内所经过的路程 思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上 工工工 速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便 得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值 上页

实例2 （求变速直线运动的路程） 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值． 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是 时间间隔 [ , ] T1 T2 上 t 的一个连续函数，且 v(t)  0，求物体在这段时间内所经过的路程

(1)分割T1=t<1<t2<…<tn1<tn=T2 A=t1-t1As1≈(G)A 部分路程值 某时刻的速度 (2)求和s≈∑v(G1)△ (3)取极限λ=max{△1,△2,…,△n} 路程的精确值s=lm∑v(τ;)A1 上页

（1）分割 1 0 1 2 1 T2 T t t t t t = < < <L< n− < n =  i = i − i−1 t t t i i i s  v( )t 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 i i n i s  v t = ( ) 1  （3）取极限 max{ , , , } 1 2 n  = t t L t i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0   路程的精确值

生三定积分的定义 定义设函数f(x)在a上有界在ab中任意插入 若千个分点=x<x1<x2<…<x<x=b 把区间[a,b分成n个小区间,各小区间的长度依次为 △x;=x1-x1,(i=1,2,…),在各小区间上任取 工工工 点5(;∈△x1),作乘积f()△x;(i=1,2,) 并作和S=∑f(5)Ax, 记=max{Ax1,△x2…,△xn},如果不论对a,b 上页

二、定积分的定义 设函数 f (x)在[a,b]上有界， 记 max{ , , , }  = x1 x2 L xn ，如果不论对[a,b] 在[a,b]中任意插入 若干个分点 a x x x x x b = 0 < 1 < 2 <L< n−1 < n = 各小区间的长度依次为 xi = xi − xi−1，(i = 1,2, L)，在各小区间上任取 一点 i（ i xi），作乘积 i xi f ( ) (i = 1,2, L) 并作和 i i n i S =  f x = ( ) 1  ， 定义 把区间[a,b]分成n个小区间

怎样的分法,也不论在小区间x;1,xl上 点ξ怎样的取法,只要当λ→0时,和S总趋于 确定的极限,我们称这个极限为函数∫(x) 在区间a,b上的定积分,记为 积分上限 积分和 ∫mf(x)k=I=im∑f(5)△ i=1 分下限 被积函数 被积|a,b积分区间 积 分 表 变 达 式 量 上页

怎样的分法，  = = ba f (x)dx I i i ni f x = → lim ( ) 1 0   被积函数 被积表达式 积分变量 [a,b]积分区间 也不论在小区间[ , ] xi−1 xi 上 点 i怎样的取法，只要当 → 0时，和S总趋于 确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f (x) 在区间[a,b]上的定积分， 记为 积分上限 积分下限 积分和