黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 空间解析几何（7.3）向量的坐标

第三节向量的坐标 四一、向量在轴上的投影与投影定理 四二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 四三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 四四、小结思考题

、向量在轴上的投影与投影定理 设有一轴u,AB是轴L上的有向线段 B L 如果数九满足礼=AB,且当AB与u轴同 向时A是正的,当AB与u轴反向时是负的, 中那末数叫做轴a上有向线段AB的值,记作 AB,即A=AB 上页

一、向量在轴上的投影与投影定理 设有一轴 u，AB 是轴 u 上的有向线段. u A B AB AB. u AB AB u AB AB u = =       ，即 那末数 叫做轴 上有向线段 的值，记作 向时 是正的，当 与 轴反向时 是负的， 如果数 满足 ，且当 与 轴同

设c是与u轴同方向的单位向量, AB=(AB)e. A B 0 1 u 设A,B,C是u轴上任意三点,不论这三点 的相互位置如何, AC=AB+ BC, 庄即(4)=(4B)+(BC)=(AB+BCE ∴AC=AB+BC. 上页

o u A B 1 设 e 是与 u 轴同方向的单位向量，  AB (AB)e.  = 的相互位置如何， 设 A, B,C 是 u 轴上任意三点，不论这三点 AC e AB e BC e    即 ( ) = ( ) + ( ) (AB BC)e,  = +  AC = AB+ BC.  AC = AB+ BC, e 

庄例1在轴上取定一点作为坐标原点设,B, 是n轴上坐标依次为n1,u2的两个点是轴 同方向的单位向量,证明AB=(2-u1)e 王证O4=h e A B 0 L 故OA=1,同理,OB=l2e,于是 cAB=OB-O4=n2-n2=(2-1) 上页

证 , OA = u 1 例 1 在u 轴上取定一点o 作为坐标原点．设A, B , 是u轴上坐标依次为u1 , u2 的两个点，e 是与u 轴 同方向的单位向量，证明AB u u e ( ) = 2 − 1 . , 1 OA u e 故 = u e u e   = 2 − 1 ( ) . 2 1 u u e = − o u A B 1 e u1 u2 , 2 OB u e 同理， = AB = OB −OA 于是

空间两向量的夹角的概念: d≠0,b≠0 向量a与向量b的夹角 q=(a,b)=(b,a)(0≤g≤兀) 工工工 类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角 特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定 它们的夹角可在0与兀之间任意取值. 上页

空间两向量的夹角的概念： 0,   a  0,   b  a  b   向量a 与向量b  的夹角 (a,b)    = (b,a)   = 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与  之间任意取值. (0  )

空间一点在轴上的投影 过点A作轴u的垂直 平面,交点A即为点 L A在轴u上的投影 上页

空间一点在轴上的投影 u •A A 过点A作轴u的垂直 平面，交点A即为点 A在轴u上的投影

空间一向量在轴上的投影 B B 已知向量的起点4和终点B在 轴u上的投影分别为4,B那 么轴u上的有向线段AB的 值,称为向量在轴上的投影 上页

空间一向量在轴上的投影 u A A B B 已知向量的起点A 和终点B 在 轴u上的投影分别为A , B那 么轴u上的有向线段AB的 值，称为向量在轴u 上的投影

向量AB在轴上的投影记为 PrjAB=HB 关于向量的投影定理(1) 向量AB在轴上的投影等于向量的模乘以 轴与向量的夹角的余弦:PrAB=ABc0s甲 证 Prj,aB=prjAB 工工 B L =AB cos p B 上页

向量AB在轴u上的投影记为 Pr j uAB = AB . 关于向量的投影定理（1） 向量AB在轴u 上的投影等于向量的模乘以 轴与向量的夹角的余弦： Pr j uAB =| AB| cos 证 u A B A B B  Pr j uAB= Pr j uAB =| AB| cos u

定理的说明: 1)0≤q<y,投影为正; T (2)。<≤元,投影为负; L (3)q= T 2 投影为零 (4)相等向量在同一轴上投影相等; 上页

定理1的说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零； u a  b  c  (4) 相等向量在同一轴上投影相等； (1) 0   , 2      2 (2) , (3)  = , 2 

关于向量的投影定理(2) 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和.(可推广到有限多个) Prj(a,+a2)=Pr ja,+Pr ja2 C 「B B 上页

关于向量的投影定理（2） 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. Pr ( ) Pr Pr . 1 2 1 a2 j a a ja j     + = + A A B B C C （可推广到有限多个） u 1 a  2 a 