黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 空间解析几何（7.4）数量积向量积混合积

第四节数量积向量积混合积 一、两向量的数量积 嘠二、两向量的向量积 向量的混合积 四、小结思考题

生-、两向量的数量积 实例一物体在常力F作用下沿直线从点M移动 到点M2,以表示位移,则力F所作的功为 W=F‖3|cos6(其中为F与的夹角) 启示两向量作这样的运算,结果是一个数量. 定义向量与b的数量积为a.b 尽a6=6(中为与的夹角 上页

一物体在常力F  作用下沿直线从点M1 移动 到点M2，以s 表示位移，则力F  所作的功为 W | F || s | cos   = (其中 为F  与s 的夹角) 启示 向量a 与b  的数量积为a b    a b | a || b | cos      = (其中 为a  与b  的夹角) 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 一、两向量的数量积

·b=l‖b|cos6 I b cos0=Prjb, a cos 0= Prja, d·b=b|Prj=||Pria b 结论两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积 数量积也称为“点积”、“内积” 上页

a  b   a b | a || b | cos      = | b | cos Pr j b, a     = | a | cos Pr j a, b    = a b b j ba       =| | Pr | a | Pr j b. a   = 数量积也称为“点积”、“内积”. 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积

关于数量积的说明: =al 压证2=0:=dlh (2)a·b=0←→a⊥b 午证(=):ab=0,1l≠=01b≠=0, 工工工 c0s=0,日=,∴lLb 2 T (=)∵Lb,0=2 coSB= 0 d·b=l‖ b cos 6=0. 上页

关于数量积的说明： (2) a  b = 0    a b.   ⊥ () a  b = 0,    | a | 0,  | b | 0,  cos = 0, a b.    ⊥ (1) | | . 2 a a a     = () a b,    ⊥ cos = 0, a  b =| a || b | cos = 0.      = 0, | || | cos | | . 2 a a a a a      证   =  = 证  = , 2  , 2   =

数量积符合下列运算规律: (1)交换律:a·b=b·d: (2)分配律:(a+b)C=lC+bc; (3)若九为数:(m)·b=a·(mb)=4(a·b), 工工工 若、.数:(an)(b)=x(a·b) 上页

数量积符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a;      =  （2）分配律： (a b) c a c b c;        +  =  +  （3）若  为数： ( a) b a ( b) (a b),         =   =   若  、  为数： ( a) ( b) (a b).        =  

ia=ai+a,j+a, k, b=bi+b j+b,k ab=(ai+a,j+a, k). ( bi+b,j+b, k) iLj⊥k,∴=j·k=k·i=0, i|j=k=1, ∴i·i=jj=k·k=1 ·b=a.b.+a.b.+aLb 数量积的坐标表达式 上页

a a i a j a k, x y z     = + + b bx i by j bzk     设 = + + a  b =   (a i a j a k) x y z    + + (b i b j b k) x y z     + + i j k,     ⊥ ⊥ i  j = j  k = k  i = 0,       | i |=| j |=| k |= 1,     i  i = j  j = k  k = 1.       x x y y z z a  b = a b + a b + a b   数量积的坐标表达式

i·b n·b=l‖b|cosb→c0s6= l‖b a、b.+a.b.+a b cos 8= var +a +a2 b2+b,2+b 2 2 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 d⊥b→a2b+aby+a2b2=0 上页

a b | a || b | cos      = , | || | cos a b a b        = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = 两向量夹角余弦的坐标表示式 a⊥b    axbx + ayby + azbz = 0 由此可知两向量垂直的充要条件为

王例1已知={11-4,b={1,22),求(1) 平ab;(2)a与的夹角;(3)a在b上的投影 解(1)ab=11+1·(-2)+(4)·2=-9 (2)c0s6= ab tabtab 2 2 2 6-+b+b 2 十a+a ∴日= 3 2 (3)ab=16 Prja :Prjaa:b=-3 上页

例 1 已知a = {1,1,−4}  ，b = {1,−2,2}  ，求（1） a b    ；（2）a  与b  的夹角；（3）a  在b  上的投影. 解 a b   (1)  = 11+1(−2) + (−4) 2 = −9. 2 2 2 2 2 2 (2) cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = , 2 1 = − a b b j ba     (3)  =| | Pr 3. | | Pr = −   = b a b j ba      = . 4 3

例2证明向量c与向量(a·c)b-(b·c)l垂直 证(a·c)b-(b·c)c =[(d·cbd-(b·c)ndl (.b)|d 引 ·C-·c 0 I(a·c)b-( b.c)allc 上页

例 2 证明向量c 与向量 a c b b c a       (  ) − (  ) 垂直. 证 a c b b c a c        [(  ) − (  ) ] [(a c)b c (b c)a c]         =   −   (c b)[a c a c]       =   −  = 0 a c b b c a c        [(  ) − (  ) ]⊥

生三、两向量的向量积 实例设O为一根杠杆L的支点,有一力F作用 于这杠杆上P点处.力F与OP的夹角为,力 生F对支点O的力矩是一向量M,它的模 F MF=|OQ‖F =0P‖F|sin6 M的方向垂直于OP与F所决 定的平面,指向符合右手系 上页

设O为一根杠杆L 的支点，有一力F  作用 于这杠杆上P 点处．力F  与OP 的夹角为 ， 力 F  对支点O的力矩是一向量M  ，它的模 | M | | OQ || F |   = | OP || F |sin  = M  的方向垂直于OP 与F  所决 定的平面, 指向符合右手系. 实例 二、两向量的向量积 L F  P Q O 