黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 积分（5.7）广义积分

第七节广义积分 巴一、无穷限的广义积分 巴二、无界函数的广义积分 巴三、小结思考题

、无穷限的广义积分 定义1设函数∫(x)在区间a,+∞)上连续,取 b>a,如果极限imf(x)d存在,则称此极 b→+0Ja 牛限为函数/()在无穷区间+3)上的广义积 + 分,记作∫(x)d + b f(x)dx= lim f(x)dx b→+0a 牛当极限存在时,称广义积分收敛当极限不存在 时,称广义积分发散 上页

定 义 1 设函数 f (x) 在区间[a,+)上连续，取 b  a，如果极限  →+  b b a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f (x) 在无穷区间[a,+) 上的广义积 分，记作 + a f (x)dx.  + a f (x)dx  →+  = b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 一、无穷限的广义积分

c类似地,设函数f(x)在区间(-∞,b1上连续,取 a<b,如果极限lmf(x)存在,则称此极 限为函数∫(x)在无穷区间(∞,b上的广义积 牛分,记作∫/x 工工工 r f()dx=lim rf(x)do c当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 上页

类似地，设函数 f (x) 在区间(−,b]上连续，取 a  b，如果极限  →−  b a a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f (x) 在无穷区间(−,b] 上的广义积 分，记作− b f (x)dx. − b f (x)dx  →−  = b a a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散

设函数f(x)在区间(-∞,+0)上连续,如果 广义积分。f(x)d和f(x)dk都收敛,则 称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间 王(-0+0)上的广义积分,记作∫。(x 工工工 ∫f(x)t=。f(x)dx+nf(x)d lim f(x)dx+ lim f(x)dx 王极限存在称广义积分收敛:否则称产义积分发散

设函数 f (x) 在区间(−,+) 上连续,如 果 广义积分− 0 f (x)dx 和 + 0 f (x)dx 都收敛，则 称上述两广义积分之和为函数 f (x) 在无穷区间 (−,+)上的广义积分，记作 + − f (x)dx .  + − f (x)dx − = 0 f (x)dx  + + 0 f (x)dx  →− = 0 lim ( ) a a f x dx  →+ + b b f x dx 0 lim ( ) 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散

例1计算广义积分 -o1+x +00 dx o dx +oO d x 解 2 1+x 1+x 2 0 01 b im x+ lim.2dx a→-ah1+x →+Q lim arctan lim larctanx 少+0 T =-lim arctan+ lim arctan=1-6+6=T a→-0 b→+0 2 王页下

例1 计算广义积分 . 1  2 + − + x dx 解  + − + 2 1 x dx − + = 0 2 1 x dx  + + + 0 2 1 x dx  + = →−  0 2 1 1 lim a a dx x  + + →+  b b dx x 0 2 1 1 lim   0 lim arctan a a x →−  =   b b arctan x 0 lim →+  + a a lim arctan →−  = − b b lim arctan →+  + . 2 2 =    +       = − −

例2计算广义积分2sin 解 2 SIndh = SIn 元xC xx b,11 b =-lim b→+0① cos rr b→+o x|2 lim cos-cos=1 b→>+∞ b 2 上页

例2 计算广义积分 解 . 1 sin 1 2 2 +  dx x x  +  2 1 sin 1 2 dx x x  +        = − 2 1 1 sin x d x         = − →+  b b x d x 2 1 1 lim sin b b x        = →+  2 1 lim cos       = − →+  2 cos 1 lim cos  b b = 1

例3证明广义积分d当p>1时收敛, 当p≤1时发散 主证①)p=1x==m对2+ p+e+∞o p1 因此当p>1时广义积分收敛,其值为 P 当p≤1时广义积分发散 上页

例 3 证明广义积分 + 1 1 dx x p 当p  1时收敛， 当 p  1时发散. 证 (1) p = 1, + 1 1 dx x p  + = 1 1 dx x   + = 1 ln x = +, (2) p  1,  + 1 1 dx x p + −       − = 1 1 1 p x p       − +   = , 1 1 1 , 1 p p p 因此当p  1时广义积分收敛，其值为 1 1 p − ； 当 p  1时广义积分发散

例4证明广义积分厂c四当p>0时收敛, 当p+a P 9d_a ddO u= 已 b→+o D-0 P P 0,p0时收敛,当尸<0时发散 上页

例 4 证明广义积分 + − a p x e dx当p  0时收敛， 当 p  0时发散. 证  + − a px e dx  − →+ = b a px b lim e dx b a px b p e       = − − →+  lim       = − − − →+  p e p e pa pb b lim         = − , 0 , 0 p p p e ap 即当p  0时收敛，当p  0时发散

生二、无界函数的广义积分 定义2设函数f(x)在区间a,b上连续,而在 点a的右邻域内无界.取>0,如果极限 庄mCm(x存在,则称此极限为函数(x) 少 工工工 在区间(a,b上的广义积分,记作f(x)dc b b f(x)dx=lim f(x)dc +0 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 上页

定义 2 设函数 f (x)在区间(a,b]上连续，而在 点a 的右邻域内无界．取  0 ，如果极限 →+  + b a f x dx   lim ( ) 0 存在，则称此极限为函数f (x) 在区间(a,b]上的广义积分，记作 b a f (x)dx.  b a f (x)dx →+  + = b a f x dx   lim ( ) 0 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 二、无界函数的广义积分

类似地,设函数f(x)在区间a,b)上连续, 而在点b的左邻域内无界.取E>0,如果极限 imf(x)/存在,则称此极限为函数f(x) +0 在区间[a,b)上的广义积分, b b 记作!f(x)dtc=imf(x)d →+0 A当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 上页

类似地，设函数 f (x) 在区间[a,b) 上连续， 而在点b 的左邻域内无界.取  0 ，如果极限  − →+   b a lim f (x)dx 0 存在，则称此极限为函数f (x) 在区间[a,b)上的广义积分， 记作 b a f (x)dx  − →+ =   b a lim f (x)dx 0 . 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散