高等学校计算机专业教材：《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 代数结构

第六章代数结构 数筍資鹎主罡研究型餐量負殃备佯您佧鑫 踅料二的天装系统量个绍的解統 连点喜像团小数续经宴的围想驾 初步掌 葛通被烈鞋的座据对能楼到, 的骨额法体含 返回首页 2021/2/22

2021/2/22 1 第六章 代数结构 代数结构的主要研究对象是各种各样的代数系 统，即具有一些元运算的集合,本章介绍的群就 是具有一个二元运算的代数系统. 本章以群为例讨论代数结构，它的思想和方 法已经渗透到现代科学的许多分支、它的结果 已应用到计算机的不少方面，因此计算机科学 工作者应初步掌握其基本的理论和方法. 读者通过对群的学习应初步掌握对代数系统研 究的一般方法，从简单到复杂、从具体到一般， 从而发现代数系统的一般规律.本章的内容较为 抽象、难学.可根据具体情况删减一些内容. 返回首页

第一节代数结构概述 我们在前面已经研究过集合,那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联 系现在我们要在一个集合的内部引入运 算,并研究其运算规律,主要内容为 1代数系统的定义然后用例子说明代数 系统的丰富性; 2代数系统的运算的常用记法和运算表 的概念. 返回本章首页 2021/2/22

2021/2/22 2 第一节 代数结构概述 ⚫ 我们在前面已经研究过集合，那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联 系.现在我们要在一个集合的内部引入运 算，并研究其运算规律,主要内容为: ⚫ 1.代数系统的定义,然后用例子说明代数 系统的丰富性; ⚫ 2.代数系统的运算的常用记法和运算表 的概念. 返回本章首页

第二节置换(1) ●群论的硏究始于置换群.置换群在群论里 有重要的地位例如,五次以上方程不能 用根号求解的问题的证明就用到置换群. 置换概念本身在计算机科学中也起作重 要作用同时置换群的记法简单,运算方 便 ●本节的概念有置换、循环置换、不相交 置换、对换、奇置换、偶置换等; 返回本章首页 2021/2/

2021/2/22 3 第二节 置换(1) ⚫ 群论的研究始于置换群.置换群在群论里 有重要的地位.例如，五次以上方程不能 用根号求解的问题的证明就用到置换群. 置换概念本身在计算机科学中也起作重 要作用.同时置换群的记法简单，运算方 便. ⚫ 本节的概念有:置换、循环置换、不相交 置换、对换、奇置换、偶置换等; 返回本章首页

第二节置换(2) ●本节的结论有: 1置换的乘法即合成)满足结合律; 2.两个不相交的循环置换的乘法满足交换律; 3摄果王糖含南打 成不相交循环置 4每个嚣块都能金蟹对换的乖稆·县偶囂 劣解成数对换的聚积 5在n个元素的所有置换中,奇偶置换各半. 返回本章首页 2021/2/22

2021/2/22 4 第二节 置换(2) ⚫ 本节的结论有: 1.置换的乘法(即合成)满足结合律; 2.两个不相交的循环置换的乘法满足交换律; 3.任意置换均可惟一地分解成不相交循环置 换的乘积(不考虑因子的次序) ； 4.每个置换都能分解成对换的乘积，且偶置 换只能分解成偶数个对换的乘积，奇置换 只能分解成奇数个对换的乘积； 5.在n个元素的所有置换中,奇偶置换各半. 返回本章首页

第三节群 ◎本节给出了群的定义及群的简单性质 主要概念有:左(右)单位元,单位元、左 石右)逆元、逆 句除杀件、消去律 有限群、无限群、交换群; 主要结论有: 1群的定义中条件(2)、(3)可分别用左单 2行完香代可成南高看位元 去律成 5 |返回本章首页 2021/2/

2021/2/22 5 第三节 群 ⚫ 本节给出了群 的定义及群 的简单性质. ⚫ 主要概念有:左(右)单位元、单位元、左 (右)逆元、逆元、可除条件、消去律、 有限群、无限群、交换群; ⚫ 主要结论有: 1.群的定义中条件(2) 、(3)可分别用左单 位元、左逆元替代,也可分别用右单位元、 右逆元替代,还可以用可除条件替代; 2.任意群中消去律成立. 返回本章首页

第四节子群 与集会的子集:量闻的间 口 它的结构对群的结构有重要景响 言要概含有平凡子群、平小子群虫 某个元素生成的子群、循环群、生成元、 元素的周期 论了一个群的非空子集构成子群的条 在某个元索生成的子莊的基础上定y 义 循环群把循环群的结构研究清楚了 6 返回本章首页 2021/2/22

2021/2/22 6 第四节 子群 ⚫ 与集合的子集、向量空间的子空间一样. 群也有子群的概念.子群作为群的一部分. 它的结构对群的结构有重要影响. ⚫ 主要概念有:平凡子群、非平凡子群、由 某个元素生成的子群、循环群、生成元、 元素的周期. ⚫ 讨论了一个群的非空子集构成子群的条 件;在某个元素生成的子群的基础上定义 循环群,把循环群的结构研究清楚了. 返回本章首页

第五节陪集与正规子群 ●本节利用群G的一个子群H来作G的一个分类 并由这样的分类来引入正规子群的概念 1利用群G的一个子群H定义了G的一个等伤 关系这个等价关系决定了G的一个分类每个 类Ha称为右陪集类似地也定义了左陪集; 2.在左、右陪集的基础上定义了群的正规子 群并讨论了子群为正规子群的条件正规子 群是群的一类重要子群有很好的代数性质, 应很好掌握它. 7 返回本章首页 2021/2/22

2021/2/22 7 第五节 陪集与正规子群 ⚫ 本节利用群G的一个子群H来作G的一个分类， 并由这样的分类来引入正规子群的概念. 1.利用群G的一个子群H,定义了G的一个等价 关系,这个等价关系决定了G的一个分类,每个 类Ha称为右陪集,类似地也定义了左陪集; 2.在左、右陪集的基础上定义了群的正规子 群,并讨论了子群为正规子群的条件,正规子 群是群的一类重要子群,有很好的代数性质, 应很好掌握它. 返回本章首页

第六节拉格朗日定理 拉格朗日定理反映了有限群的元数与其 子群的元数之间的关系是群论的最基本 定理之 拉格朗日定理是:设G是有限群H是G的 子群则有公式G|=H(G:H ●本节给出了拉格朗日定理的两个推论及 几个应用拉格朗日定理的例子 8 返回本章首页 2021/2/

2021/2/22 8 第六节 拉格朗日定理 ⚫ 拉格朗日定理反映了有限群的元数与其 子群的元数之间的关系.是群论的最基本 定理之一. ⚫ 拉格朗日定理是:设G是有限群,H是G的 子群,则有公式|G|=|H|(G:H). ⚫ 本节给出了拉格朗日定理的两个推论及 几个应用拉格朗日定理的例子. 返回本章首页

第七节群的同态(1) 同态是两个代数系统间的一种联系,通 过经种联奈,可以把一个代数系统的运 算转杨 代数系统使得在一个代 教中戏校门易如 我们常用的对数实际上它就是正实 数的乘法群到烹数的地法群的个回态 到对敌考的加送能需落 代数系统间十分重要的关系 返回本章首页 2021/2/22

2021/2/22 9 第七节 群的同态(1) ⚫ 同态是两个代数系统间的一种联系，通 过这种联系，可以把一个代数系统的运 算转移到另一个代数系统.使得在一个代 数系统中较难解决的问题转移到另一个 代数系统中成为较易解决的问题.例如， 我们常用的对数，实际上，它就是正实 数的乘法群到实数的加法群的一个同态. 利用对数，我们实现了把较难的乘法运 算转化成较易的加法运算，因此，同态 是代数系统间十分重要的关系 返回本章首页

第七节群的同态(2) 主要概念有∶同态、单同态、满同态、同 构、零同态、同态象、同态核. ●主要结论有: 1.设f是群G到群G的同态映射,则G的单 位元的象是G的单位元;且G的子群H 在f下的象f(H)是G的子群; 2.设是群G到群G°的同态映射则同态核 是G的正规子群 返回本章首页 2021/2/22

2021/2/22 10 第七节 群的同态(2) ⚫ 主要概念有:同态、单同态、满同态、同 构、零同态、同态象、同态核. ⚫ 主要结论有: 1.设f是群G到群G’的同态映射，则G的单 位元的象是G’的单位元；且G的子群H 在f下的象f(H)是G’的子群; 2.设f是群G到群G’的同态映射,则同态核 是G的正规子群; 返回本章首页