《微分方程》第十二讲 线性微分方程的一般理论

第十二讲

第十二讲

第四章高阶微分方程 541线性微分方程的一般理论 542常系数线性微分方程的解法

第四章 高阶微分方程 §4.1 线性微分方程的一般理论 §4.2 常系数线性微分方程的解法

54.1线性微分方程的一般 理论 解的存在唯一性定理 二、齐线性方程的解的结构与性质 非齐线性方程与常数变易法

§4.1 线性微分方程的一般 理论 一、解的存在唯一性定理 二、齐线性方程的解的结构与性质 三、非齐线性方程与常数变易法

解的存在唯一性定理

一、解的存在唯一性定理

定义1:称形式为 +a() an -(t)+an( tx=f4 的微分方程是n阶线性微分方程,其中x是未知函数,t是自变量 a=12…,n)及f()都是定义区间上已知的连续函数4 当f()≡0时,()变成 d"x d"x d 分+…+an41)+a,(x=0 (2 a 称(2)为阶齐线性微分方程,简称为齐线性方而称一般的方程(1) 为n阶排线性微分方程,简称为线性方并且通常把(叫做对 应于方程(1)的齐线性方程

定理1(解的存在唯一性定理):对于n阶线性微分方程(1),如果 a()1=12…,)及f(都是区间[a上的连续函数则对任意的te[a 及常数xa,鸡,…,下列 Cauchy间题 +a t) +an()-+a,(x=fit a ( x(t)=n,x(a)=…,x0(t)= 在[,存在唯一解

二、齐线性方程的解的 结构与性质

二、齐线性方程的解的 结构与性质

对于n阶紊续性方程 d d"X an⑨)+an(x=0 (2) d 定理2(加原理):如果x(t),x()…,(是方程(2)的解,则它们的线 性组合x(+c2(+…+1(也是(2)的解其中c1c2…;c是任意常数4 若令 V={x()x(t)是(2的解}, 即v是(2)的所有解构成的解集合则v是一个线性空间,且是全体连续 函数空间Ca的一个子空间4

间题:v的维数是多少?若是有限维的,它的基底是什么?4

定义2:称k个函数购(t,9t)…,卿(在区间上是线性相关的如果 存在不全为0的k个常数c,a,…,c1,使得69)+c292)+…+c91(=0对 于所有t∈[恒成立.否则称p(t),(,…,(在区间上是线性 无关的