《微分方程》第四讲 线性方程与常数变易法

第四讲

第四讲

(I〕形如一(ax+的方程 其中a1,a2n,b2c12均为实常数

（II）形如 的方程， 其中 均为实常数         + + + + = 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c f dx dy 1 2 1 2 1 2 a ,a ,b ,b ,c ,c

注意到:当G=c2=0时,方程属齐次方程,从而可化为变量分离 方程.下面我们讨论当42+e2≠0时,方程的初等解法,为此分两种情形

(1)当 ,即=的情形 设 文,则方程可写成 k(a,x +b,y)+C a, x+b,y)+c, 令2=a2x+by,则方程化为 +5 2+c 2 这是变量分离方程,从而可用初等解法求解ψ

(2)当8≠0的情形 此时二元一次线性代数方程组{4++=0存在唯一解{x ax+b,y+c=0 若作变量变换{3,则原方程 中ax+y+1 J-J dx(ax+ y+ 3为( 此为关于xr的齐次方程,从而也可用初等解法求解

综上所述,形如中=+的方程,其中a,均为实 常数,可用初等解法求解

例8:解方程少=yx 2 dx x+]+4 解:因为 2≠0,所以解代数方程组 -x-2=0 ,得到 X=- x+y+4=0 作变量变换 F=x+3 = X-3 dy i-X 这是齐 LY=y+1L y=}-1 则原方程化为 dx y+X 次方程.令u=2,则此方程变为 +r- 2+ 化简并变量分离,得到 du=--di, t 2+1x 两边积分,得到 lm42) +arctan=-IrX+G 2

化简并用=2代入,得到 -arctan A+r=Ce 因此原方程的通解为 x+232+y+1)2=Ce x+3

例9:解方程中2+4+ dx x+2 解因为4-0,今2=x+2y,则原初程优为5+这是变量分离 z+1 方程.当52+7≠0时,变量分离,得到 5+7 两边积分,得到 5525 X 2+=±g2 化简并用z=x+2代入,得到通解 x+2+=cn5-10X

另外,忽+7=0,即x0y+也是解.如果在通解+42+=c10中 允许C-,则540y+2也就包含在x+2+=c10x中.因此原方程 的解为 x+42+=c列10x 其中c为任意常数