《微分方程》第六讲 一阶隐方程与参数表示

第六讲

第六讲

524一阶隐方程与参数表示 参数形式的解 可以解出(或y)的方程 三、就κ、ν与都不能解出的方程

§2.4 一阶隐方程与参数表示 一、参数形式的解 二、可以解出 （或 ）的方程 三、就 x 、 y 与 都不能解出的方程 dx dy x y

参数形式的解

一、参数形式的解

对于阶隐方程F(x4)=0,有时不仅显式解难于求得,就是 隐式解也不容易寻求.注意到微分方程F(xy)=0的解,如果存在, 则在(xy)平面上的图象一般是一条曲线(常称之为积分曲线).由数 学分析课程知道,对于平面曲线,除可用显式y=f(x)或x=9()来表 示外,也容许有参数表示.为此先给出参数形式解的定义:

定义1:对于微分方程F(xy2)=0,如果存在定义在(a上的可微 欧数x=c(t)与y=v(使得当t∈(a,时, 0(,y() (t) 则称 X=p() t∈(a,月为方程F(x,)=0的参数形式解 =y(t) d 同样可定义方程F(x=0的参数形式通解为-,t∈(x,D, y=yt,C)

我们刚才已经提过,对于一般的隐方程F(xy。0,它的求解 问题较困难.下面我们主要介绍下面几种特殊类型的隐方程初等解 法 (1)y=f(x,y”),(2)x=f(,y), (3)F(x,y)=0, (4)F(,y)=0. 思路:通过引进参变量,设法把所求的方程化为正规形方程,再利用 前面所学过的方法求解

具体地讲, 对(1)与(2)两种类型(常称为就x或y可解出的方程),我们 先通过设P=y为一新变量,用微分法从形式上消去y或x,化为正规 形方程,然后用前面学过的方法(如分离变量法、怡当方程法)求得 的解为联系p与x或y的代数方程;最后把原方程中的y用p代入,并 连立刚得到的代数方程即得原微分方程的通解,或从刚得到的代数方 程中解出p,并把原方程中的y用p代入,也可得到原微分方程的通 解;

对(3)与(4)两种类型(就x、y及乎都不能解出的,但不显 dx 含x或y,常称为非完全微分方程),是先通过引进一个参数,比如说 t,把原微分方程表示成参数形式;然后利用微分恒等式ψ=ya,将 间题转化为求解y(或x)与的一阶方程,此时导数中(或)已 表示为t的已知函数,通过求积分即可求得原方程的通解 下面我们依次介绍这几种方程的初等解法

二、可以解出x(或y)的方 程 y=fx,0,) x=f(y,0) x

二、可以解出 （或 ）的方 程 1、 2、 x y ( , ) dx dy x = f y ) dx dy y = f(x

f

1、 ) dx dy y = f(x