中央财经大学：《数学复习指南》第一章行列式答案

第一章行列式 填空题 1.四阶行列式中带有负号且包含a12和a21的项为 解.aa2ua3ya4中行标的排列为1234,逆序为0,列标排列为2134,逆序为1.该项符号为“-”,所 以答案为a12a21a3a44 2.排列i…i可经次对换后变为排列inn-…i 解排列ii2…i可经过1+2+…+(n-1)=n(n-1)2次对换后变成排列in-1…iti 3.在五阶行列式中(-1)142)231a2a3a41a24a35=a2a3a1a2a3 解.15423的逆序为5,23145的逆序为2,所以该项的符号为“一” 4.在函数 f(x)=x-xx|中,x2的系数是 解x3的系数只要考察2 2x3+4x2.所以x3前的系数为2 2 5.设a,b为实数,则当a= 且b= 时,-ba0=0 b o 解b =-(a2+b2)=0.所以a=b 6.在n阶行列式D=a中,当i<j时a=0(j=1,2,…,n),则D 解 =a1a22…am 7.设A为3×3矩阵,=-2,把A按行分块为A=42,其中A(=1,2,3)是A的第j行,则行列 式3A2 A A3-2A43 解3A2 A2 A1|=-3|4F6 A 二.计算证明题 1.设|AF= 12

第一章 行列式 一.  填空题 1.  四阶行列式中带有负号且包含 a12和 a21的项为______.  解. a12a21a33a44中行标的排列为 1234,  逆序为 0;  列标排列为 2134,  逆序为 1.  该项符号为“－”,  所 以答案为 a12a21a33a44.  2.  排列 i1i2…in可经______次对换后变为排列 inin－1…i2i1.  解.  排列 i1i2…in可经过 1 + 2 + … + (n－1) = n(n－1)/2  次对换后变成排列 inin－1…i2i1.  3.  在五阶行列式中 12 53 41 24 35 (15423) (23145) ( 1) a a a a a t + t - =______  12 53 41 24 35 a a  a  a  a  .  解. 15423 的逆序为 5, 23145 的逆序为 2,  所以该项的符号为“－”.  4.  在函数 x  x  x  x  x  f x  1 2 2 1 1 ( ) - - - = 中, x 3的系数是______.  解. x 3的系数只要考察 3 2 2  4  2  2 x  x  x  x  x  x = - + - - .  所以 x 3前的系数为 2.  5.  设 a, b 为实数,  则当 a = ______,  且 b = ______时,  0 1 0 1 0 0 = - - - b a a b .  解.  1 ( ) 0 1 0 1 0 0 2 2 = - + = - = - - - - a b b a a b b a a b .  所以 a = b = 0.  6.  在 n 阶行列式 D = |aij|中,  当 i < j 时 aij = 0 (i, j =1, 2,  …, n),  则 D = ______.  解. nn n n a a a a a a a a L L M O L L 11 22 1 2 21 22 11 0 0 0 0 = 7.  设 A 为 3×3 矩阵, |A| =－2,  把 A 按行分块为 ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È = 3 2 1 A  A  A  A ,  其中 Aj (j = 1, 2, 3)是 A 的第 j 行,  则行列 式 = - 1 2 3 1 3 2 A  A  A A  ______.  解. = - 1 2 3 1 3 2 A  A  A A  3 3 |  |  6 2 3 3 2 1 1 2 3 1 = - = - = - A  A  A  A  A  A  A A  .  二．计算证明题 1.  设 2  2  3  4  1  1  2  3  1  1  3  4  1  5  1  3  | |  - A =

计算A41+A42+A4+A4=?,其中A4(=1,2,3,4)是中元素a4的代数余子式 513 60 解.A41+A42+A43+A44 111 01 1100 l023=6 00 2.计算元素为a=|l-的n阶行列式 n 解|A 由最后一行起,每行减前一行 n 每列加第n列 =(-1)2(m-1) 00 0-1 +1x,+2 3.计算n阶行列式D (n≥2) 解.当n>2 x2 x2 x2+n1x2+2 x1x1+3…x1+m|x12x1+3 x,t n x+ +nx,2x,+3 x+n xn+3…xn+n{xn2xn+3…xn x x1 x, + n 2x;+3 x + n 3 x2 2x.+3 x1x1+3 +3 xI x2 x 0 +n1 x 3 x +n

计算 A41 + A42 + A43 + A44 = ?,  其中 A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素 a4j 的代数余子式.  解. A41 + A42 + A43 + A44 1  1  1  1  1  1  2  3  1  1  3  4  1 - 5  1  3  = 0  1  2  0  2  3  6  0  2  ( 1 ) 1  0  0  0  1  0  1  2  1  0  2  3  1  6  0  2  4 1 - = - - = + =  6 2 1 0 0 0 2 3 6 0 2 1 = - - 2.  计算元素为 aij = | i－j|的 n 阶行列式.  解.  1  1  1  1  1  1  0  1  1  1  2  0  1  0  2  0  1  1  | |  - - - - - - - - = L M O L L L M O L L n  n  n  n  n  A 由最后一行起，每行减前一行 ( 1 ) 2  ( 1 ) 0  0  0  1  0  2  0  2  1  1  1  1 2 = - - - - - - - - - - n  n  n  n  n  n n L M M M O O L L L L L L 每列加第 列 3.  计算 n 阶行列式 x  x  x  n x  x  x  n x  x  x  n D n n n n + + + + + + + + + = L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 (n ³ 2).  解.  当n > 2 x  x  x  n x  x  x  n x  x  x  n D n n n n + + + + + + = L L L L L L L 2 2 2 2 2 2 1 1 1 + x  x  n x  x  n x  x  n n + n + + + + + L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 = x  x  x  x  n x  x  x  x  n x  x  x  x  n n n n + n + + + + + L M M M M M L L 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 + x  x  x  n x  x  x  n x  x  x  n n n + n + + + + + L M M M M M L L 2 3 2 3 2 3 2 2 2 1 1 1 + x  x  x  n x  x  x  n x  x  x  n n n + n + + + + + L M M M M M L L 1 3 1 3 1 3 2 2 2 1 1 1 + x  x  n x  x  n x  x  n n + n + + + + + L M M M M M L L 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 1 1 =－ x  x  x  n x  x  x  n x  x  x  n n n + n + + + + + L M M M M M L L 1 3 1 3 1 3 2 2 2 1 1 1 =－ x  x  x  n x  x  x  n x  x  x  n n n n + + + L M M M M M L L 1 1 1 2 2 2 1 1 1 － x  x  n x  x  n x  x  n n n + + + L M M M M M L L 1 3 1 3 1 3 2 2 1 1 = 0

当n=2 x1+1x+2 +1x2+2=x 4证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零 证明:A=-A,|AH=|AH-A=(-1)”|AF=-|A|(n为奇数)所以=0 5试证:如果n次多项式f(x)=C0+Cx+…Cnx”对n+1个不同的x值都是零,则此多项式恒等 于零(提示:用范德蒙行列式证明) 证明:假设多项式的n+1个不同的零点为x,x,…,x,将它们代入多项式,得关于C方程组 Co+C1x+…Cnx0=0 C0+C1x1+…Cnx1=0 Co +Cx+ 系数行列式为xx1,…,xn的范德蒙行列式,不为0.所以 C.=0 6.设F(x)=12x3x2求F(x) 026x 解、F(x)=12x3x2|=2x12x3x2|=2x0x2x2=2x2012 026 13 12x=2x3 F"(x)=6 本期答案由聚焦图书提供,特别感谢!

当n = 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 x  x  x  x  x x  = - + + + + 4.证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.  证明:  A A, | A |  | A |  |  A |  ( 1 ) | A |  | A |  T T  n = - = = - = - = - (n 为奇数).  所以|A| = 0.  5.试证:  如果 n 次多项式 n n f  x  = C + C x +LC x  0 1 ( ) 对 n + 1 个不同的 x 值都是零,  则此多项式恒等 于零. (提示:  用范德蒙行列式证明) 证明:  假设多项式的 n + 1 个不同的零点为 x0, x1,  …, xn.  将它们代入多项式,  得关于 Ci 方程组 0  0 + 1 0 + 0 = n n C C x  LC x  0  0 + 1 1 + 1 = n n C C x  L C x  ………… 0  0 + 1 + = n n n n C C x  L C x  系数行列式为 x0, x1,  …, xn的范德蒙行列式,  不为 0.  所以 0  C0 = C1 = L = Cn = 6.  设 , ' ( ). 0  2  6  ( ) 1  2  3  2 2 3 F x  x  x  x  x  x  x  F x  = 求 解. x  x  x  x  x  x  F x  0  2  6  ( ) 1  2  3  2 2 3 = = x  x  x  x  x  x 0  1  3  1  2  3  1  2  2 2 = x  x  x  x  x  x 0  1  3  0  2  1  2  2 2 = x  x  x  x  x 0  1  3  0  1  2  1  2  2 2 =  3 2 2 2  0  0  0  1  2  1  2 x  x  x  x  x  x = 2 F'(x ) = 6 x