《微分方程》第五讲 恰当方程与积分因子

第五讲

第五讲

523恰当方程与积分因子 恰当方程 二、积分因子

§2.3 恰当方程与积分因子 一、恰当方程 二、积分因子

接下来,我们採讨另外一类可用初等解法求解的方 程类型.为此,将一阶正规形微分方程=f(xy)改写成 f(x,y)d-py=0,或更一般地,M(x,y)+Mx,)中=0的 形式.由前面的例子可以看到,把微分方程写成这种形 式的优点在于:既可以把y看成未知函数,x看成自变量; 也可以把x看成未知函数,y看成自变量.即变量x与变 壘y在方程中的地位是对称的,因此也常称形式为 』(xx+x,y)=0的方程为对称形式的微分方程

恰当方程

一、恰当方程

定义1:对于对称形式的微分方程M(x)dx+M(x,)=0,如果存在可 微二元函数xy),使得Mx)x+M(x,)=0是xy)的全微分,即 d0xy)=M(xy)x+Mxy冲, 则称M(xax+M(x,)=0为怡当方程,或全微分方程 例如,xx+y=0是怡当方程,因为可取Uxy)=x+y; yx+x=0是怡当方程,此时可取U(xy)=y; ydx- xdy 0也是恰当方程,此时可取U(x,y arctan x+y

对于恰当方程,我们有下面的结果: 命题1:如果M(xyax+Mx,)=0为恰当方程,即存在U(x,y)使得 du(r,y)=M(r, y)dx +N(r, y)dy t 则(x,y)=C为方程M(x)dx+M(x,y)=0的通解,这里c为任意常数

证明:只需证明(x,y=C为M(x)x+M(x,y)=0的解,对任意的常 数C,设函数方程x=C确定的隐函数为y=0(x,.于是, 了(x,队(xC)≡C两边关于x微分,得到dUxx,C)≡0,即 M(*,pr, C))dx+x( ,o(r, C))dp(, C)=0+ 故y=(,C为 M(x,y)dx+M(x,y)中=0 的解.因为c为任意常数,所以xy=C是 M(x,y)dx+M(x,y)中=0 的通解

例1:求方程yx+x=0的通解 解:因为y)=x+x,所以yx+x=0为恰当方程,且通解为 界=C.4

问题:如何判断M(xy)dx+Mx,y)=0是否为恰当方程?如果它是恰 当方程,如何求(x?4

为解决这个问题,我们先回忆数学分析中的两个重要结果 引理1:如果二元函数f(xy)的两个混合偏导数f,f在点(xn连续, 引理2:若M(xy,Mxy)在矩形城G:a<x<b,e<y<d内连续可微,则 含参量的积分y)=M(xy)在(ca)肉可微,且 币0)=可M(x)=M”)