《微分方程》第二讲 § 基本概念

第二讲

第二讲

51.2基本概念 常微分方程与偏微分方程 、微分方程的阶 线性与非线性微分方程 四、微分方程的解 显式解与隐式解 2.通解与特解

§1.2 基本概念 一、常微分方程与偏微分方程 二、微分方程的阶 三、线性与非线性微分方程 四、微分方程的解 1. 显式解与隐式解 2. 通解与特解

常微分方程与偏微分方程 定义1:把联系自变量、未知函数及未知函数导数(或微分)的 关系式称为微分方程 例1:下列关系式都是微分方程 2x ax (2)xdy-ydx=o 3 d x x +t +x=0: dx dx +5,”+3x=snt; (5)+ (6)+2+x+y=2=0 Ox ay

一、常微分方程与偏微分方程 定义1: 把联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的 关系式称为微分方程. (1) 2x ; dx dy = (2) xdy− ydx = 0 ; (3) 0 ; 3 2 2  + =      + x dt dx t x dt d x (4) 5 3 sin ; 2 2 4 4 x t dt d x dt d x + + = (5) z ; y z x z =   +   (6) 0 . 2 2 2 2 + + − =   +   x y uz y u x u 例1：下列关系式都是微分方程

附注1:—个关系式要成为微分方程,要求该关系式中必须含有未 知函数的导数或微分,但其中的自变量或未知函数可以不显含.如 果一个关系式中不显含未知函数的导数或微分,则这样的关系式 就不能成为微分方程,例如x2+y2=1就不是微分方程实际上 我们在数学分析课程中已经知道,它是一个函数方程 附注2:如果在一个微分方程中,自变量的个数只有一个,则这样 的微分方程称为常微分方程,如上面例1中 (1)=2x dx (2)xdy-ydx=o 3 x (3) +txl +x=0: d x dx (4),4+5,2+3x=snt 就是常微分方程;

附注1：一个关系式要成为微分方程，要求该关系式中必须含有未 知函数的导数或微分，但其中的自变量或未知函数可以不显含. 如 果一个关系式中不显含未知函数的导数或微分，则这样的关系式 就不能成为微分方程，例如 就不是微分方程. 实际上， 我们在数学分析课程中已经知道，它是一个函数方程. 1 2 2 x + y = 附注2：如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样 的微分方程称为常微分方程，如上面例1中 (1) 2x; dx dy = (2) xdy− ydx = 0 ; (3) 0; 3 2 2  + =      + x dt dx t x dt d x (4) 5 3 sin ; 2 2 4 4 x t dt d x dt d x + + = 就是常微分方程；

如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程 如上面例1中 (5) 0×0 2 (6)2+2+x+y-E=0 就是偏微分方程 本课程主要研究常微分方程.同时把常微分方程简称为微分方 程或方程

如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程， 如上面例1中 (5) z ; y z x z =   +   (6) 0 . 2 2 2 2 + + − =   +   x y uz y u x u 就是偏微分方程. 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称为微分方 程或方程

微分方程的阶 定义2:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称 为微分方程的阶数 在上面例1中, (1)=2x是一阶微分方程 (2)xhy-yx=0是一阶微分方程; d x dx +tx +x=0是二阶微分方程 (4)+5+3x=sint是四阶微分方程

二、微分方程的阶 定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称 为微分方程的阶数. 在上面例1中， (1) 2x dx dy = 是一阶微分方程； (2) xdy − ydx = 0 是一阶微分方程； (3) 0 是二阶微分方程； 3 2 2  + =      + x dt dx t x dt d x (4) 5 3 sin 是四阶微分方程. 2 2 4 4 x t dt d x dt d x + + =

般的m阶第微分方程可以写成 这里以ax3'dh E I,J e.2的已知亟数,而且 dx·dx 定含有项进一步,如果能从Fxy,…4)=0中 x x 从而得到下列形式的微分方程: X,I

则称这种已就最高阶导数解出的微分方程为正规形薇分 方程有时也称形如叫x,,2)=0的方程为魔微分 x 方程

三、线性与非线性微分方程 定义3:如果z阶微分方程Fx…=0的左边 T y,②…2的一次有理整式,则称它为n阶线性微分方 x 程.吾则称为非线性微分方程. 例如上面例1中 2x (2)xdy-ydx =0 4+57+3x=smt 是线性微分方程

例如上面例1中 (1) 2x dx dy = 是线性微分方程， (2) xdy − ydx = 0 (4) 5 3 sin 2 2 4 4 x t dt d x dt d x + + =

而之 (3)d2x d x +t +x=0 是非线性微分方程 n阶线性微分方程的一般形式为: +a1(x n+…+an(x)y=g(x) d 其中a1(x)…,an(x),g(x)是已知函数;而n阶正规形线 性微分方程的一般形式为: d =b,(x) y …+b,(x)y+q(x), 其中b(x)…,b(x,g(x)是已知函数4

是非线性微分方程. . 而 (3) 0 3 2 2  + =      + x dt dx t x dt d x