《微分方程》第八讲 解的延拓

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第八讲

●●00 0●● 0●● 53.2解的延拓

§3.2 解的延拓

●● 问题的提出:对于cauc问题 a=了f(x,y),R=(xy)x-列ay-y分, y(x0) 上节的解的存在唯一性定理告诉我们:在一定的条件下,它的解在区 间k-≤h上存在唯一,其中M=max(x)h=mm|a.b.根据经 (*yeR M 验,如果∫(xy)的存在区域R越大,则解的存在区间也应该越大.但根 据定理的结果,可能出现这样的情况,即随着∫(x,y)的存在区域R增 大我们能肯定的解存在区间反而缩小

●● 例如,对于 Cauchy问题: y(0)=0 当取定义域R1=(x,y)x≤1y1时,M1=21= 当取定义域R2=(x,y)x2y≤2)时,M2=8h2 正因为如此,上节中所介绍的存在唯一性定理也叫做解的局部 存在唯一性定理.这种局部性使我们感到非常不满意.而且实战上也 要求解的存在区间能尽量扩大.这样就需要讨论解延拓的问题.为此 先给出下列定义

定义1:对于定义在平面R2上一个区域(即连通开集)G中的微分方程 (3.1 设y=以(x是方程(31)的定义于区间(a1,月1)内的一个解.若存在方程 (31)的另一个解y=w(x),它在区间(a2,月2)内有定义,并且满足“ (1)(a2,B2)3(a1,月)但(a22)≠(∞1,月1); (2)w(x)=叭(x),当x∈(a,B1)时 则称解y=叭(x),x∈(an,B是可延拓的,并且称y=w(x)是y=(x)在 (a2,月2)的一个延拓 倘若不存在满足上述条件的解y=(x),则称解y=(x),x∈(a1,月) 为方程(31)的一个不可延拓解,或饱和解此时把不可延拓解的定义 区间(a1,月1)称为一个饱和区间

●●00 为了把解存在唯一性定理中的局部解延拓到更大的区间上,我们 先给出局部 Lipschi条件的概念 定义2:对于定义在平面R2上一个区域G中的函数f(x,y),对任意的 (x1,y1)∈G,取正数a1,b2,使得 R1=(x,y)x-x|≤a1y-y1|≤b)CG, 若存在L(与x,n1,a,2有关),对任意的(xy),(x,y)∈R,使得 f(x,y)-f(x,y)≤lly-y 恒成立,则称f(xy)在G内关于y满足局部 Lipschitz条件

●●00 0●● 0●● 问题:如何判别∫(x,y)在G内是否关于y满足局部 Lipsch条件?我 们有下面的一个充分条件 结果:如果f(xy)及f(x,y)关于y的偏导数f,(x,y)在G内连续,则 f(x,y)在G内关于y满足局部 Lipschitz条件

●●00 0●● 0●● 定理1:对于定义在平面R2上一个区域G中的微分方程(3.1),设 f(xy)在G内连续且关于y满足局部 Lipschitz条件如果y=x为 31)的定义在闭区间[a月上的一个解,则y=x在[a,月上必可延拓

●●00 0●● 0●● 由定理可知,一个由存在唯一性定理得到的解总可以向左、右两 边延拓,我们的问题是:是否任意一个解都可以延拓为饱和解呢?

●●● 推论1:对于定义在平面R2上一个区域G中的 Cauchy问题 dx f(x),其中(x,y0)∈G 如果f(x,y)在G内连续且关于y满足局部 Lipschitz条件则它的任一非 饱和解均可延拓为饱和解(见尤秉礼《常微分方程补充教程》第30-31 页 推论2:设y=叭对为cacy间题{女=(),其中(n)e的一个 y(xo)=y 饱和解,1是该饱和解的饱和区间,则必为开区间