《微分方程》第三讲 变量分离方程与变量变换

第三讲

第三讲

第二章一阶微分方程的初等解法 §21变量分离方程与变量变换 §22线性方程与常数变易法 §23恰当方程与积分因子 §24一阶隐方程与参数表示

第二章 一阶微分方程的初等解法 §2.1 变量分离方程与变量变换 §2.2 线性方程与常数变易法 §2.3 恰当方程与积分因子 §2.4 一阶隐方程与参数表示

个定:(,在游子分析课星中,2们曾用 表示x2原数院,里面含有一个仕意数但在微分方程课程中, 我们常用(f表(:某一个原区做址如2=x-等

§21变量分离方程与变量变换 变量分离方程 可化为变量分离方程的类型

§2.1 变量分离方程与变量变换  一、变量分离方程  二、可化为变量分离方程的类型

变量分离方程

一、变量分离方程

先看例子: xty +1 dx =已 J

先看例子： ( 1) 2 2 = x y + dx dy x y ye dx dy + = x y e ye dx dy = 

定义1:如果一阶微分方程=x)中的八x)可以写成 x)=80)的形式,即②-800,则称这样的微分方程为变量 dx (可)分离的微分方程. 这种方程的特点是:有端是只含x的函数和只含y的还数的乘积 一般假设g(x)分别为x,y的连续还数 当顾y)≠0时,它可以写成 M0)~°8(x)dx,且称这样的微分方程为变 量已分离的微分方程这种方程的特点是:专潢是只含变量,而左端 只含变量

对于变壘已分离的微分方程 (),我们有下面的结果:4 命题1:设团)是的一个原函数,6(x是g(对的一个原函数,则 F(y2=(+C:3=8(x,从而为=gx(的(隐式)通解 其中C为任意常数

附注1:由此结果可知g0,的:8)的通解,只 需各自求!与5g8如,再加上任意常即可

x-(y-+ 2 12+1 X C dx+c arctan y==x+C

例： ( 1) 2 2 = x y + dx dy x dx y dy 2 2 1 = + x dx C y dy = + +   2 2 1 y = x +C 3 3 1 arctan