《微分方程》第十三讲 常系数线性微分方程的解法

第十三讲

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542常系数线性微分方程的解 法 常系数齐线性微分方程的解法 常系数齐线性微分方程的解

§4.2 常系数线性微分方程的解 法 一、常系数齐线性微分方程的解法 二、常系数非齐线性微分方程的解法

如果n阶线性微分方程 d”x dx +…2n1 +a,x=f4 中的系数a(X=12…,m)都是常数,则称它为n阶常系数线性微分 方程,即 d a +…+an+anx=, 其中a(=1,2…n都是常数特别地如果方程中的非项 f(x)≡0,则称它为n阶常系数齐线性微分方程如果令 dx d +…,+and, 十 则方程(1)可简记为=f(x),而它所对应的齐线性方程可记为 瓦[x]=0.4

一、常系数齐线性微分方程啪 解法 1:待征根是单根的形 I:特征根有重根的情形

一、常系数齐线性微分方程的 解法 I: 特征根是单根的情形 II: 特征根有重根的情形

对于n阶第系数齐銈性微分方程=0 定理1:函数x=g为方程Lx=0的解当且仅当孔=4为代数方程 F(4≡x+a"+…+an=0 的根

定义1:称多项式F(4)≡+a1+…+an为x=0的特征多项式; 称方程F()=+a1+…+an=0为I=0的特征方程; 称方程F(4≡+a1+…+an=0的根为刀=0的特征根 于是,为求x=0的形式为x=e解只须求特征方程 F(4≡和+a1-+…+an=0 的根即可 下面根据特征根是单根还是重根,分两种情况讨论

I:特征根是单根的情形

I: 特征根是单根的情形

结果1:如果I=0的特征方程F(4≡+a1+…+an=0有n个互异 的根λ1,孔2…,λ,(λ1,λ2…,孔。中可能有一些是复数)则4 1t,2t 为工刀=0的一个基本解组

例1:求方程“x+“x-2x=0的一个基本解组

间题:如何求实系数方程的实值基本解组?4