西安石油大学理学院：《数学模型与数学实验》课程教学资源（习题解答）第六章 稳定性模型

第六章 部分习题 2.与 Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是 Gompertz模型:x()=rxh N 其中r和N的意义与 Logistic模型相同 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型,且单位时间捕捞量为h=Ex,讨论渔场鱼量的 平衡点及其稳定性,求最大持续产量hn及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x 3.在63节种群竞争模型中设σ2=1(G1≠o2),求平衡点并分析其稳定性 ll.一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物,又长着茂盛的植物,爬行动物以哺乳动物 为食物,哺乳动物又依赖植物生存,在适当假设下建立三者之间关系的模型,求平衡点 12.大陆上物种数目可以看作常数,各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移,岛上物种数量 的增加与尚未迁移的物种数目有关,而随着迁移物种的增加又导致岛上物种的减少,在适当 假设下建立岛上物种数的模型,并讨论稳定状况 参考答案 2.模型为:文=F(x)=rxhx-Ex,如图所示,有2个平衡点:x=0和x0=Ne 可证x=0不稳定,x稳定(与E的大小无关)最大持续产量为hn=PN/e,获得hn的 r,Xo 3.在条件σ2=1下,记叮1=O即2=1/。有3个平衡点:P(N10),P2(0,N2), P2(00)。P不稳定:a1时,反之 .植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记作x()x2()x3(),若不考虑自然资源对植 物生长的限制,则模型为

第六章 部分习题 2. 与 Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是 Gompertz 模型； ( ) x N x t = rx ln ， 其中 r 和 N 的意义与 Logistic 模型相同。 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为 h = Ex ，讨论渔场鱼量的 平衡点及其稳定性，求最大持续产量 mh 及获得最大产量的捕捞强度 Em 和渔场鱼量水平 * 0 x 3. 在 6.3 节种群竞争模型中设 ( ) 1 2 =11  2 ，求平衡点并分析其稳定性 11. 一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物，爬行动物以哺乳动物 为食物，哺乳动物又依赖植物生存，在适当假设下建立三者之间关系的模型，求平衡点 12. 大陆上物种数目可以看作常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移，岛上物种数量 的增加与尚未迁移的物种数目有关，而随着迁移物种的增加又导致岛上物种的减少，在适当 假设下建立岛上物种数的模型，并讨论稳定状况。 参考答案 2. 模型为： ( ) Ex x N x = F x = rx ln − ，如图所示，有 2 个平衡点： x = 0 和 E r x Ne / 0 − = 。 可证 x = 0 不稳定， 0 x 稳定（与 E 的大小无关）最大持续产量为 h rN e m = / ，获得 mh 的 E r x N e m , / * = 0 = 3. 在条件 1 2 =1 下，记 1 = 即  2 =1/ 。有 3 个平衡点： ( ,0) P1 N1 ， ( ) 2 2 P 0,N ， (0,0) P3 。 P3 不稳定；  1 时， P2 不稳定， P1 稳定；  1 时，反之 11. 植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记作 x (t) x (t) x (t) 1 2 3 , , ，若不考虑自然资源对植 物生长的限制，则模型为

=x1(-1x2)x2=x2(-12+2x1-x3)文3=x3(-n1+2x2) 式中常数可作类似65节的解释,平衡点为(0%y 0P2点中x和x2的 结果与6.5节相同 12.记岛上物种数为x(),大陆上物种数为N。设x(的增加率与尚未迁移的物种数N-x 成正比,同时x(0的减少率与已迁移的物种数x成正比,则 ()=(N-x)-Rx(a,B>0)稳定状态时x0= a t

( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 3 3 3 3 3 2 x  = x r −  x , x  = x − r +  x − x , x  = x − r +  x 式中常数可作类似 6.5 节的解释，平衡点为 ( ) 2 1 1 2 2 1 2 0,0,0 , , ,0 ,P r r P P         点中 1 x 和 2 x 的 结果与 6.5 节相同。 12. 记岛上物种数为 x(t) ，大陆上物种数为 N 。设 x(t) 的增加率与尚未迁移的物种数 N − x 成正比，同时 x(t) 的减少率与已迁移的物种数 x 成正比，则 x (t) =(N − x)− x (,  0), 稳定状态时    + = N x0