西安石油大学：《数学分析 Mathematical Analysis》课程教学资源（PPT课件）第十二章 傅立叶级数 12.4习题课

第十二章习题课

第十二章 习题课

傅里叶级数 (1)三角函数系 IeCC E S, coS 4,sn2, 任意两个不同函数在-T,m上的积分等于零 cos ndx=0 ∫snt=0, (其中n=1,2,…)

1,cos x,sin x,cos 2x,sin2x, cos nx,sinnx,  任意两个不同函数在[ , ]上的积分等于零. 正交性 −  cos = 0,   − nxdx sin = 0,   − nxdx (1).三角函数系 (其中n = 1,2, ) 傅里叶级数

T 0.m≠n SInn sinx x T . =n 0,m≠n cos x cos nra T lI, m=n sInx cos r d=0(其中mn,n=1,2,…) (2)傅里叶级数 定义+∑(nc0smx+ b. sinr)三角级数 2 n-=1

 = =  − m n m n mx nxdx , 0, sin sin  = =  − m n m n mx nxdx , 0, cos cos  sin cos = 0 − mx nxdx (其中m,n = 1,2,) (2) 傅里叶级数 +  + =1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a 定义 三角级数

do+2(a, cos nx+b, sin nx) 2 f(x)cos ndr, (n=0, 1, 2,.) 其中 b π1一元 f()sin ndx,(n=1, 2,".) 称为傅里叶级数

其中       =  =  =  =  −  − ( )sin , ( 1,2, ) 1 ( )cos , ( 0,1,2, ) 1   b f x nxdx n a f x nxdx n n n 称为傅里叶级数. +  +  =1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a

(3)狄利克雷( Dirichlet)充分条件(收敛定理 设f(x)是以2π为周期的周期函数如果它满足 条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断 点,并且至多只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级 数收敛并且 (1)当x是f(x)的连续点时级数收敛于f(x); (2)当x是f(x)的间断点时,收敛于 f(x-0)+f(x+0) 2 (3)当x为端点x=±π时收敛于 f( +0)+f(元 2

(3) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) 设 f (x)是以2 为周期的周期函数.如果它满足 条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断 点,并且至多只有有限个极值点,则f (x) 的傅里叶级 数收敛,并且 (1) 当x 是 f (x)的连续点时,级数收敛于f (x) ; (2)当x是 f (x)的间断点时, 收敛于 2 f (x − 0) + f (x + 0) ; (3) 当x 为端点x = 时,收敛于 2 f (− + 0) + f ( − 0)

(4)正弦级数与余弦级数 如果f(x)为奇函数,傅氏级数∑ b sinn 称为正弦级数 当周期为2π的奇函数f(x)展开成傅里叶 级数时,它的傅里叶系数为 02 (n=0,1,2,…) f(x)sin ndx (n=1, 2, .) 兀0

如果 f (x)为奇函数, 傅氏级数 b nx n n sin 1   = 称为正弦级数. (4) 正弦级数与余弦级数 当周期为2的奇函数 f ( x)展开成傅里叶 级数时,它的傅里叶系数为 ( )sin ( 1,2, ) 2 0 ( 0,1,2, ) 0   =  = = =   b f x nxdx n a n n n

如果∫(x)为偶函数,傅氏级数+∑ a. cos nx 2 称为余弦级数 当周期为2π的偶函数f(x)展开成傅里叶级数 时,它的傅里叶系数为 2c兀 f(x)cos ndx (n=0, 1, 2,.) T b.=0 (n=1,2,…)

当周期为2的偶函数 f ( x)展开成傅里叶级数 时,它的傅里叶系数为 0 ( 1,2, ) ( )cos ( 0,1,2, ) 2 0   = = =  =   b n a f x nxdx n n n 如果 f (x)为偶函数, 傅氏级数 a nx a n n cos 2 1 0 +   = 称为余弦级数

(5)周期的延拓 奇延拓: f(x)0<x≤ 令F(x)= x=0 f(-x)-<x<0 f(x)的傅氏正弦级数 f(x)= ∑b sIn nx (0≤x≤)

奇延拓:      − − −    =    = ( ) 0 0 0 ( ) 0 ( ) f x x x f x x 令 F x f (x)的傅氏正弦级数 ( ) sin . 1   = = n f x b n nx (0  x  ) (5) 周期的延拓

偶延拓: 令F(x)= f(x)0≤x≤兀 0(-x)-m<x<0 f(x)的傅氏余弦级数 f(x)=y+∑ (, nx(0≤x≤

偶延拓:    − −       = ( ) 0 ( ) 0 ( ) f x x f x x 令 F x f (x)的傅氏余弦级数   = = + 1 0 cos 2 ( ) n an nx a f x (0  x  )

(6)周期为2的周期函数的傅氏展开式 设周期为2的周期函数f(x)满足收敛定理 的条件,则它的傅里叶级数展开式为 J(x)= nTur nTtr a coS +b. si 2 ∑ nTtr f∫(x)cos"dx,(n=0,1,2,…) b=. f()sin"dx, (n=1,2

的条件 则它的傅里叶级数展开式为 设周期为 的周期函数 满足收敛定理 , 2l f (x) ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n  +  = +  = (6) 周期为2l 的周期函数的傅氏展开式 ( )cos , ( 0,1,2, ) 1 =   = − dx n l n x f x l a l l n ( )sin , ( 1,2, ) 1 =   = − dx n l n x f x l b l l n