西安石油大学理学院：《数学模型与数学实验》课程教学资源（习题解答）第三章 简单的优化模型

第三章 部分习题 1.在3.1节存储模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优定货周期和定货批 量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样,而在允许缺货模型中最优定货周期和定货 批量都比原来结果减小 3.在33节森林救火模型中,如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b有关, 试假设一个合理的函数关系,重新求解模型 4.在34节`最优价格模型中,如果考虑到成本q随着产量x的增加而降低,试做出合理的 假设,重新求解模型。 7.要在雨中从一处沿直线跑到另一处,若雨速为常数且方向不变,试建立数学,模型讨论 是否跑都越快,淋雨量越少。 将人体简化成一个长方体,高a=1.5m(颈部以下),宽b=0.5m厚c=0.2m,设跑 步距离 d=1000m.跑步最大速度v=5m/s,雨速l=4m/s,降雨量w=2cm/h,记跑 步速度为v,按以下步骤进行讨论: (1)不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量 (2)雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为6,如图 1建立总淋雨量与速度v及参数a,b,C,d,l,w,O之间的关系,问速度v多大,总淋雨量最少, 计算=0,6=30时的总淋雨量 (3))雨从背面吹来,雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为O 如图2建立总淋雨量与速度v及参数a,b,C,d,u,1,a之间的关系,问速度v多大,总淋雨量 最少,计算O=30时的总淋雨量 (4)以总淋雨量为纵轴,速度ν为横轴,对(3)作图(考虑α的影响),并解释结果 的实际意义 (5)若雨线方向与跑步方向不在同一平面内,模型会有什么变化 图1

第三章 部分习题 1. 在 3.1 节存储模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优定货周期和定货批 量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优定货周期和定货 批量都比原来结果减小 3. 在 3.3 节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度  与开始救火时的火势 b 有关， 试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。 4. 在 3.4 节`最优价格模型中，如果考虑到成本 q 随着产量 x 的增加而降低，试做出合理的 假设，重新求解模型。 7. 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论 是否跑都越快，淋雨量越少。 将人体简化成一个长方体，高 a =1.5m （颈部以下），宽 b = 0.5m 厚 c = 0.2m ，设跑 步距离 d = 1000m, 跑步最大速度 v m s m = 5 / ，雨速 u = 4m/s ，降雨量 w = 2cm/ h ，记跑 步速度为 v ，按以下步骤进行讨论； （1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量 （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为  ，如图 1 建立总淋雨量与速度 v 及参数 a,b,c,d,u,w, 之间的关系，问速度 v 多大，总淋雨量最少， 计算 0  = 0, = 30 时的总淋雨量。 （3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为  ， 如图 2 建立总淋雨量与速度 v 及参数 a,b,c,d,u,w, 之间的关系，问速度 v 多大，总淋雨量 最少，计算 0  = 30 时的总淋雨量。 （4）以总淋雨量为纵轴，速度 v 为横轴，对（3）作图（考虑  的影响），并解释结果 的实际意义。 （5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化

参考答案 1.设购买单位重量货物的费用为k,对于不允许缺货模型,每天平均费用为 ()=+-2-+krT,Q,的最优结果不变,对于允许缺货模型,每天平均费用为 2Q2 (TQ)=741+2r2 7-)+0,用2=0=0,可求出了Q的最 优结果为 3k C2C3 C Ca+c c2(c2+c3)c2 O均不考虑费用k时的结果减小 3.不妨设(b)=,,表示火势b越大,灭火速度λ越小,分母b+1中的1是防止b→0 b+1 时λ→∞而加的,最优解为 xb2+2cb(b+1)b+1)(b+) 4.不妨设q(x)=q0-kxk,是产量增加一个单位时成本的降低,最优价格为 2(-kb)2b 1)全身面积s=2ab+2ac+bc=22m2,淋雨时间t=d,=200s,降雨量 0=2ch=108%,所以总淋雨量Q=o=24.升 2)顶部淋雨量Q= bedo cose/:雨速水平分量vsnO,方向与v相反,合速度 nsm+r,迎面单位时间、单位面积的淋雨量O(smnO+"),迎面淋雨量 abdolusin 0+v 所以总淋雨量Q=Q1+Q2 bdo cu cos 0+lusin 0 Q2 v=vn时Q最小,=0.Q≈1.15升。=30,Q≈1.55升 3)与2)不同的是,合速度为|sna-叫,于是总淋雨量

参考答案 1. 设购买单位重量货物的费用为 k ，对于不允许缺货模型，每天平均费用为 ( ) kr T Q c rT T c c T , , 2 1 2 = + + ，的最优结果不变，对于允许缺货模型，每天平均费用为 ( ) ( )       = + + rT − Q + k Q r c r c Q c T c T Q 3 2 2 2 1 2 2 1 , ，利用 0, = 0   =   Q c T c ，可求出 T,Q 的最 优结果为 ( ) 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 * 1 2 3 2 3 2 3 2 * 1 2 , 2 c c k r c c c c k r c c c c c r Q c c k c c c rc c T + − + − + − = + = * T ， * Q 均不考虑费用 k 时的结果减小. 3. 不妨设 ( ) 1 ' + = b b   ，表示火势 b 越大，灭火速度  越小，分母 b +1 中的 1 是防止 b →0 时  → 而加的，最优解为  ( ) ( ) ( ) ' ' 3 2 ' 2 1 1 2 2 1 1 2      + + + + + = b c c b c b b b x . 4. 不妨设 q(x) q kx, k = 0 − ，是产量增加一个单位时成本的降低，最优价格为 ( ) b a kb q ka p 2 1 2 * 0 + − − = . 7. 1) 全身面积 2 s = 2ab + 2ac + bc = 2.2m ，淋雨时间 s v d t m = = 200 ，降雨量 s m h cm 18 10 2 −4  = = ，所以总淋雨量 Q = st  2.44 升 2) 顶部淋雨量 v Q bcdcos 1 = ；雨速水平分量 usin ，方向与 v 相反，合速度 usin  + v ，迎面单位时间、单位面积的淋雨量 ( ) u  usin  + v ，迎面淋雨量 ( ) uv abd u v Q + =  sin  2 ，所以总淋雨量 ( ) v cu a u v u bd Q Q Q + + = + =  cos sin  1 2 。 m v = v 时 Q 最小，  = 0,Q  1.15 升。 30 , 1.55 0  = Q  升。 3) 与 2）不同的是，合速度为 usin  − v ，于是总淋雨量

bdo cucos a+alus a-v)bdo u(ccos a +asin a)-av ,v≤lSma Q l bdo cucos a+av-usin a) bdo u(ccosa-asin a)+av v>usin a 若 ccos a-asna%a,则v=sna时Q最小。否则v=vm时Q最小(见 下图)当a=30如a>05”=2my,Q=024升最小,可与y=vmQ=093升相 比 4)雨从背面吹来,只要a不太大,满足tana>C(a=1.5m,c=02m时,a)76°即 可),v=usia,Q最小,此时人体背面不淋雨,只有顶部淋雨 5)再用一个角度表示雨的方向,应计算侧面的淋雨量,问题本质上没有变化

( ) ( ) ( ) ( )         − + = + −  + − = + − =               , sin cos sin cos sin , sin cos sin cos sin v u v u c a av u bd v cu a v u u bd v u v u c a av u bd v cu a u v u bd Q ， 若 c cos − asin   0, 即 a   c tan ，则 v = usin  时 Q 最小。否则 m v = v 时 Q 最小（见 下图）当 , 2 , 0.24 1.5 0.2 30 ,tan 0 =  = Q  s   v m 升最小，可与 v = vm ,Q  0.93 升相 比. 4) 雨从背面吹来，只要  不太大，满足 a   c tan （ 0 a =1.5m,c = 0.2m时，〉7.6 即 可）， v = u sin ,Q 最小，此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨. 5) 再用一个角度表示雨的方向，应计算侧面的淋雨量，问题本质上没有变化