西安石油大学：《数学分析 Mathematical Analysis》课程教学资源（PPT课件）第十二章 傅立叶级数 12.3收敛定理的证明

123收敛定理的证明 Din定理设以2x为周期的函数在区间 丌,z]上按段光滑,则在每一点x∈[-x,丌], J的 Fourier级数收敛于f在点x的左、右 极限的算术平均值,即 f(x+0)+f(x-0)a, ta cosnx+b, sin nx 其中“x和为的 Fourier系数

12.3 收敛定理的证明 Dini 定理 设以 为周期的函数 在区间 上按段光滑,则在每一点 , 的 Fourier 级数收敛于 在点 的左、右 极限的算术平均值, 即 其中 和 为 的 Fourier 系数

+>.a cosnx +b, sin nx 证明思路:设/)~2x 对每个x∈[-丌,丌],我们要证明 f(x+0)+f(x-0) mn((x+0+(x=0 即证明 N→0 方法是把该极限表达式化为积分,利用 R—L定理证明相应积分的极限为零

证明思路: 设 ～ 对每个 , 我们要证明 . . 即证明 . 方法是把该极限表达式化为积分, 利用 R—L定理证明相应积分的极限为零

1写出=2+2 a cos+br sin ex 的简缩形式 2x+1 Sin S(x)= [ f(x+t) 2 Sin 2 称这一简缩形式为(x的积分形式,或称为 Dirichlet积分, f(x+0)+f(x-0 2利用该表示式,式 (x)可化为 f(x+0)+f(x-0 2n2+1 f(x+0)+(x-0 sin f(x+t 2 2 2

1 写出 的简缩形式. 称这一简缩形式为 的积分形式 , 或称为 Dirichlet 积分, 2 利用该表示式, 式 可化为

2n+1 sin f(x+0) f(x+) 2 sin 2 2 2n+1 Sin f(x+) 2 sin + 2 于是把问题归结为证明 2+1 limf(x+0) f(x+) 2 2n+1 sin imn X f(x+2) 丌 sin =

+ , 于是把问题归结为证明 ,

这两式的证明是相同的,只证第一式 3为证上述第一式,先利用三角公式 2n+1 sin +cosφ+cos2q+…+cosn 2sin 建立所谓 Dirichlet积分 22+1 sIr1 2 dt=1 sin f(x+0 2 f(x+0) 利用该式把2表示为积分,即把2表示 为 Dirichlet积分

这两式的证明是相同的, 只证第一式. 3 为证上述第一式, 先利用三角公式 建立所谓Dirichlet积分 利用该式把 表示为积分,即把 表示 为 Dirichlet 积分

2n+1 sin (x+ f(x+0 丌 2sin 于是又把上述1中所指的第一式左端化为 2n+1 sin f(x+0 f(x+t) sin 2n+1 [f(x+0)-f(x+) 2 sin 2

. 于是又把上述1中所指的第一式左端化为

4利用所谓 Riemann- Lebesgue定理证明上 述极限为零.为此,先证明 Bessel不等式,再建立 Riemann- Lebesgue定理,然后把以上最后的 式子化为 2n+1 sin f(x+0)-f(x+1) lim T 2s N一 5把上式化为应用R一L定理的形式,即令 ) f(x+)-f(x+0)2 t∈(0,x sin-

4 利用所谓Riemann — Lebesgue定理证明上 述极限为零. 为此 , 先证明Bessel不等式, 再建立 Riemann — Lebesgue定理, 然后把以上最后的 式子化为 . 5 把上式化为应用R — L定理的形式, 即令

2n+1 sin [f(x+0=f(x+ 2 sin 贝 =lim ae) sin I n+-ltdi 为使最后这一极限等于零,由R一L定理,只要 函数()在区间[0,x上可积.因此希望9(0+0)存在 由函数在区间x,刀]上按段光滑,可以验证+0 存在

则 为使最后这一极限等于零, 由 R — L 定理, 只要 函 数 在区间 上可积. 因此希望 存 在. 由函数 在区间 上按段光滑, 可以验证 存在

预备定理1( Besse1不等式)若函数J在区间 -,灯]上可积,则有 Bessel不等式 2 ∑(a2+ 2 卫=1 其中和为函数的 Fourier系数 推论1( Pieman- Lebesgue定理) 若函数在区间[一丌,]上可积,则有 Cr)cOs3rdx=0 lin fIrISin FIdr

预备定理 1 ( Bessel 不等式) 若函数 在区间 上可积, 则有 Bessel 不等式 其中 和 为函数 的 Fourier 系数. 推论 1 ( Riemann— Lebesgue 定理 ) 若函数 在区间 上可积, 则有

推论2若函数在区间一上可积,则有 lim L f(x)sin(n+-)xdx=0 N→①J0 lim f(x)sin(n+-)xdx=0 N→0一x 预备定理2若(x)是以2x为周期的周期函数, 且在区间[一,]上可积,则函数f(x)的 Fourier级数部分和1(x)有积分表示式 2n+1 sin S2(x) f(x +t) 2 2

推论 2 若函数 在区间 上可积, 则有 预备定理 2 若 是以 为周期的周期函数, 且在区间 上可积, 则函数 的 Fourier 级数部分和 有积分表示式