西安石油大学：《数学分析 Mathematical Analysis》课程教学资源（PPT课件）第八章 定积分的应用 8.2由平行截面面积求体积

)数学分析 §1体积求法 、旋转体的体积 二、平行截面面积为已知的立体的 、小结 体积 河西学院数学系分析数学教研室

一、旋转体的体积 二、平行截面面积为已知的立体的 体积 §1体积求法 三、小结

旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 条直线旋转一周而成的立体。这直线叫做 旋转轴 圆柱 圆锥 圆台

旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 一、旋转体的体积

旋转体: 由连续曲线yf(x)、直 线x=a、a=b及x轴所围成 的曲边梯形绕x轴旋转一周 f(x) 而成的立体 讨论 O 旋转体的体积怎样求? 答案: V=(x)bx=zU(x)t

O a b x y 旋转体： 由连续曲线 y =f (x )、直 线 x = a 、 a =b 及 x 轴所围成 的曲边梯形绕 x轴旋转一周 而成的立体。 y =f (x ) 讨论： 旋转体的体积怎样求？ V =  ba [f(x)] 2  dx =  ba [f(x)] 2 dx 。 答案：

般地,如果旋转体是由连续曲线y=f(x) 直线x=、x=b及轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体,体积为多少? 取积分变量为℃, y=∫(x) x∈[a2b 在[a2b上任取小区 xh d b 间x,x+dxl, 取以x为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素,dV=mf(x)1dc 旋转体的体积为y=∫观/(x)

一般地，如果旋转体是由连续曲线y = f (x)、 直线x = a、x = b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为x ， x[a,b] 在[a,b]上任取小区 间[x, x + dx]， 取以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV f x dx 2 = [ ( )] x x + dx x y o 旋转体的体积为 V f x dx b a 2 [ ( )]  =  y = f (x)

曲线(x)绕x轴旋转而成的立体体积:=z(x)k a 2 例1求椭圆x+y y b 2 分别绕x轴与y轴旋转产生的 旋转体的体积。 O 解:椭圆绕x轴旋转产生 的旋转体的体积: Vx=2 ydx=2T(a-x )dx b cb十 0 4 =2兀-2 x zab 2 3103

曲线y=f(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积： V =  b a [f(x)]2 dx。 解：椭圆绕 x 轴旋转产生 的旋转体的体积： Vx =2  a 0 y 2 dx =2 a x dx a a b ( ) 2 0 2 2 2  − x a a x a b 0 3 2 2 2 ) 3 = 2  ( − 2 3 4 = ab 。 x y O a b 2 2 a x a b y = − 下页 例 1 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 分别绕x轴与y轴旋转产生的 旋转体的体积。 Vx =2  a 0 y 2 dx =2 a x dx a a b ( ) 2 0 2 2 2  − x a a x a b 0 3 2 2 2 ) 3 = 2  ( − 2 3 4 = ab

例2连接坐标原点O及点P(h2r)的直线、直线 x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋 转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体,计算圆 锥体的体积 解直线OP方程为 y=h 取积分变量为x,x∈|0,l 在[0,上任取小区间x,x+dx

y 例 2 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线 x = h及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋 转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆 锥体的体积． 解 r h P x h r y = 取积分变量为x ， x[0,h] 在[0,h]上任取小区间[x, x + dx]， x o 直线 OP 方程为

以d为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的 体积为 dV=元xdx h 圆锥体的体积 2 h h V=l r-x dx x—3 Thr 3

以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的 体积为 x dx h r dV 2       =  圆锥体的体积x dx h r V h 2 0       =   h x h r 0 3 2 2 3        = . 3 2 hr = y r h P x o

2 2 例3求星形线x3+y3=a3(a>0)绕x轴旋转 构成旋转体的体积 2 2 解 2 2)3 3 x∈-2a 旋转体的体积 2)3 32 πa3-x3d T 105

− a a o y x 例 3 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a  0)绕x轴旋转 构成旋转体的体积. 解 , 3 2 3 2 3 2  y = a − x 3 3 2 3 2 2          y = a − x x[−a, a] 旋转体的体积 V a x dx a a 3 3 2 3 2         =  − − . 105 32 3 = a

类似地,如果旋转体是由连续曲线 x=9(y)、直线y=c、y=d为轴所围 成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体, 体积为 T(y)I dy /x-o()

类似地，如果旋转体是由连续曲线 x = ( y)、直线 y = c 、 y = d 及y 轴所围 成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体， 体积为 x y o x = ( y) c d y dy 2 [( )]  =  d c V

例4求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的 拱与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋 转构成旋转体的体积 y v(x) 解绕x轴旋转的旋转体体积 2元a ny(x)di T[ a(1-cos 1)2. a(1-cost)dt 0 3 2兀 aL (1-3cos t+3 cos t-cos' t)dt=5T2 a

例 4 求摆线 x = a(t − sint)， y = a(1− cost)的 一拱与 y = 0所围成的图形分别绕x轴 、 y轴 旋 转构成旋转体的体积. 解 绕x轴旋转的旋转体体积 V y x dx a x ( ) 2 2 0  =    =  −  − 2 0 2 2 a (1 cost) a(1 cost)dt   =  − + − 2 0 3 2 3 a (1 3cost 3cos t cos t)dt 5 . 2 3 =  a a 2a y(x)