西安石油大学：《数学分析 Mathematical Analysis》课程教学资源（PPT课件）第七章 定积分 7.6定积分的计算

7.6定积分的计算 换元公式 二、分部积分公式 三、泰勒公式的积分型余项 四、小结

一、换元公式 四、小结 三、泰勒公式的积分型余项 二、分部积分公式 7.6 定积分的计算

换元公式 定理假设 (1)f(x)在,b上连续; (2)函数x=q()在a,B上是单值的且有连续 导数; (3)当在区间a,B上变化时,x=(1)的值 在[a,b上变化,且φ(a)=a、q(B)=b, 则有(x)k=J1(Olp()t

定理 假设 （1） f ( x)在[a,b]上连续； （2）函数x = (t)在[, ]上是单值的且有连续 导数； （3） 当t 在区间[, ]上变化时，x = (t) 的 值 在[a,b]上变化，且() = a、( ) = b， 则 有 f x dx f t t dt b a  =    ( ) [( )] ( ) . 一、换元公式

证设F(x)是f(x)的一个原函数, If(ydx= F(b)-F(a), ①(t)=Fp(t)l dF dx ①()= f(xo(t)= flo(t)lo(t) dx dt ①()是fq(t)(t)的一个原函数 fq()lp(t=①(B)-①(a)

证 设F(x)是 f (x)的一个原函数， f (x)dx F(b) F(a), b a = −  (t) = F[(t)], dt dx dx dF (t) =  = f (x)(t)= f [(t)](t), [( )]( ) = () − (),    f t t dt (t)是 f[(t)](t)的一个原函数

(a)=a、(B)=b, ①(B)-①(a)=Flp(6)-Flp(a) F(b-F(a), C/f(xxx= F()-F(a)=d(B)-(a) flo(tlo(t)dt. 注意当a>B时,换元公式仍成立

() = a、( ) = b, ( ) − () = F[( )]− F[()] = F(b) − F(a), f (x)dx F(b) F(a) b a = − = ( ) − () f [ (t)] (t)dt.  =      注意 当   时，换元公式仍成立

例1计算|2 cos'xsin xdx 解令t=cosx,d=- -sindy, →t=0.x=0→t=1 2 cos sIn dx rtat t6 66

例1 计算 cos sin . 2 0 5   x xdx 解 令 t = cos x, 2  x =  t = 0, x = 0 t = 1,   2 0 5 cos x sin xdx = − 0 1 5 t dt 1 0 6 6 t = . 6 1 = dt = −sin xdx

应用换元公式时应注意(一) (1)用x=q(t)把变量x换成新变量时,积分限也 相应的改变 (2)求出fp(t)y()的一个原函数Φ(t)后,不必 象计算不定积分那样再要把Φ()变换成原变量 x的函数,而只要把新变量t的上、下限分别 代入Φ()然后相减就行了 (3)用第一类换元法即凑微分法解定积分时可以不 换元,当然也就不存在换上下限的问题了

应用换元公式时应注意（一）: （1） 求出 f[(t)](t)的一个原函数(t)后，不必 象计算不定积分那样再要把(t)变换成原变量 x的函数，而只要把新变量 t的上、下限分别 代入 (t)然后相减就行了. （2） 用x = (t)把变量x换成新变量t时，积分限也 相应的改变. （3） 用第一类换元法即凑微分法解定积分时可以不 换元，当然也就不存在换上下限的问题了

又解例1计算 cos xdx 解3 cos xsinxdx cos rsin dx 0 cos cos alcos x 6 CoS 6 0 6 6 6

又解例1 计算 cos sin . 2 0 5   x xdx  2 0 5 cos sin  解 x xdx ( )  = − 2 0 5 cos cos  xd x . 6 1 = cos sin . 2 0 5   x xdx t = cos x  = − 0 1 5 t dt 1 0 6 6 t = . 6 1 = 2 6 0 1 cos 6 x    = −   

例2计算sinx- sin xdx 0 f: f(x)=sin x-sin5x=cos x(sin x) T ∴|√sinx- sin xd cosxlsinx2dx T 3 csx(inx)d-」 T cos rising dx 0 2 J2(sin x)2dsinx-(s sInx/ x 2 SInd sIn 5 5

例2 计算 解 sin sin . 0 3 5   x − xdx f x x x 3 5  ( ) = sin − sin ( )2 3 = cos x sin x    − 0 3 5 sin x sin xdx ( )   = 0 2 3 cos x sin x dx ( )   = 2 0 2 3 cos x sin x dx ( )   −  2 2 3 cos x sin x dx ( )   = 2 0 2 3 sin x d sin x ( )   −  2 2 3 sin x d sin x ( ) 2 0 2 5 sin 5 2  = x ( )   − 2 2 5 sin 5 2 x . 5 4 =

dx 例3计算x、nx(1-1mx) 解原式= d(Inx) √nx(1-lnx) 3 d(Inx) ed√/lnx e√/lnx√(1-Inx) na =2 arcsin(√nx

例3 计算 解 . ln (1 ln ) 4 3  − e e x x x dx 原式  − = 4 3 ln (1 ln ) e (ln ) e x x d x  − = 4 3 ln (1 ln ) e (ln ) e x x d x  − = 4 3 2 1 ( ln ) ln 2 e e x d x   4 3 2 arcsin( ln ) e e = x . 6  =

例4计算 dx.(a>0) x+√a--x 解令x= asin,d= a cos to T X=a→t 2=0→t=0 原式=2 a cos t dt 2 asin t +va(1-sin't) cos t cos t-sin t dt 1(21+ dt 0 sint+ cos t 2 sint+ cos t 22

例4 计算 解   + − a dx a x a x 0 2 2 . ( 0) 1 令 x = asint, x = a , 2   t = x = 0  t = 0, dx = acostdt, 原式   + − = 2 0 2 2 sin (1 sin ) cos dt a t a t a t   + = 2 0 sin cos cos dt t t t         + − = + 2 0 sin cos cos sin 1 2 1 dt t t t t   2 0 lnsin cos 2 1 2 2 1  + +  =  t t . 4  =