西安石油大学：《数学分析 Mathematical Analysis》课程教学资源（PPT课件）第七章 定积分 7.2牛顿—莱布尼茨公式

用定义来计算定积分一般是很困难的 下面将要介绍的牛顿一莱布尼茨公式不 仅为定积分的计算提供了一个有效的方 法,而且在理论上把定积分与不定积分 联系了起来

用定义来计算定积分一般是很困难的， 下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不 仅为定积分的计算提供了一个有效的方 法，而且在理论上把定积分与不定积分 联系了起来

定理71若函数f(x)在[ab上连续, 且存在原函数F(x),则(x在[a2b 上可积,且 f(x)dx= F(b-F(a) 这即为牛顿一莱布尼茨公式,也常记为 I f(x)dx=F(x).=F(b)-F(a

f (x) [a,b] F(x) f (x) [a,b]  = − b a f (x)dx F(b) F(a)  = = − b a b a f (x)dx F(x) F(b) F(a) 定理7.1 若函数 在 上连续， ，则 在 上可积，且 这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为 。 且存在原函数

证给定[ab任意一个分割 △:a 0,30>0只要5,7∈[a2b

证 [a,b] a x x x b  : = 0  1  n = 给定 任意一个分割： ，    = = − = − − =  n k k k n k k k F b F a F x F x f x 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 这里  k = k − k−1 x x x [ , ] k k 1 k x x   − 用了Lagrange 中值定理。 f (x) C[a,b] 由Cantor 定理， f 在 [a,b] 一致连续， 所以   0   0 ， ， 只要 , [a,b]

5-m<δ,就有 f(5)-f()< a/3 于 A=mnx△ySd 时,对 1<k≤n ∈[x k-15k 有 ∑/(EA)Ax4-{P(b)-F(a)=U)-f(m)x<6 注1:在实际应用中,定理的条件是可以适当减弱的,如 F(x):在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且 F(x)=f(x)x∈(an,b)而f(x)只要在[a,b 上可积即可

 −   ，就有 b a f f − −   ( ) () 于是，当  =      k k n x 1 max 时，对 [ , ] k k 1 k x x   −  ，有    −  −  =   −     = = n k k k k n k k k f x F b F a f f x 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F(x) ：在 注1：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 F(x) = f (x), x (a,b) .而 f (x) 只要在 [a,b] 上可积即可

注2:本定理对F(x)的要求是多余的。 设f(x)在[b可积(不一定连续),又设 F(x)在[ab]上连续,并且在(ab)上, F(x)=f(x),则 f(x)dx=F(x)=F(b)-F 证任给[ab一分割A=x<耳<<x=b 由 Lagrange中值定理F(a)=∑/ k=1 n∈(xk1x)因在[ab可积,令 =max△x1→)0 1≤k<n 则上式右边→f(x)dx 所以F(b)-F(a)=[f(x)d

注2：本定理对 F(x) 的要求是多余的。 设 f (x) 在 [a,b] 可积（不一定连续），又设 F(x) 在 [a,b] 上连续，并且在 (a,b) 上， F(x) = f (x) ，则 f (x)dx F(x) F(b) F(a) b a b a = = −  证 任给 [a,b] 一分割 a x x x b n  =   = 0 1 : 由Lagrange中值定理 = − =  n k k k F b F a f x 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) k k 1 k x x   − 因 f 在 [a,b] 可积，令 max 0 1 =  →   k k n  x ，则上式右边 →  b a f (x)dx 所以  − = b a F(b) F(a) f (x)dx .

例1:计算 sin xdx 因sinx在{a,b连续, 且(-cosx)=sinx 所以[ sin xdx=- cos x coS a-cos b

例1: sin .  b a 计算 xdx 解 : ( cos x) sin x ' 且 − = 因 sin x在[a,b]连 续， b a b a sin xdx = −cos x 所以  = cosa −cosb

例2求x 解当x<0时,的一个原函数是n|x ∫2-ak=[nxl2 In1-In2=-ln2 例3计算曲线y=sinx在[0,上与x轴所围 成的平面图形的面积 解面积A=sinx [cosx=2

例2 求 解 . 1 1 2 dx x  − − 当x  0时， x 1 的一个原函数是ln | x |, dx x  − − 1 2 1   1 2 ln | | − = − x = ln1− ln2 = −ln2. 例 3 计算曲线 y = sin x在[0,]上与x轴所围 成的平面图形的面积. 解 面积 x y o    = 0 A sin xdx    = − 0 cos x = 2

例4计算由抛物线y=x2+1,直线x+y=3以及 坐标轴所围图形的面穋 如右图 由于抛物线与直线 相交于点(1,2) 故所围曲边梯形面积 S=f(rdu x2+1,0≤x≤1 其中f(x)= 3-x,1<x<3

例4: 计算由抛物线 y = x 2 + 1,直线x + y = 3以及 坐标轴所围图形的面积S. 解 : 如右图 由于抛物线 o x y 1 3 与直线 相交于点(1,2) (1,2) 故所围曲边梯形面积 ( ) . 3 0 S = f x dx  −   +   = 3 , 1 3. 1, 0 1, ( ) 2 x x x x 其 中 f x

例5求极限: 2 lim sIn- sin …+Sn n n 少 (n-1) 解:原式 2兀 n lim- sin -+sin+.+sin (n-1)兀 +sin n->oo n n im 2sin '=im >/ sin i兀 Tm->0 nn 1c兀 SIn 0 (cos0-COS 7) 2

解: 原式        + −  + +  +  = → n n n n n n n n sin ( 1) sin 2 sin sin 1 lim  =   = → n i n n i n 1 sin 1 lim n n i n i n          = = → 1 lim sin 1 sin . 1 0   = xdx i x  i 1 2 (cos0 cos ) .    = − = 例5 求极限：       −  + +  +  → n n n n n n ( 1) sin 2 sin sin 1 lim 