西安石油大学：《数学分析 Mathematical Analysis》课程教学资源（PPT课件）第七章 定积分 7.4定积分的性质

974定积分的性质 基本性质 积分中值定理

一、基本性质 二、积分中值定理 §7.4 定积分的性质

、基本性质 对定积分的补充规定: (1)当a=b时,f(x)dx=0; (2)当a>b时,f(x)x=-f(x)d 说明在下面的性质中,假定定积分都存 在,且不考虑积分上下限的大小

对定积分的补充规定: （1）当a = b时， ( ) = 0  b a f x dx ； （2）当a  b时， = − a b b a f (x)dx f (x)dx. 说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小． 一、基本性质

性质14(x)=/(x)k为常数) 证f(x)dk=加m∑6(5Ax =im∑/()Ax,=k加m∑/()Ax =kl f(r)d

 =  b a b a kf (x)dx k f (x)dx (k 为常数). 证  b a kf (x)dx 0 1 lim ( ) n i i T i kf x  → = =   0 1 lim ( ) n i i T i k f x  → = =   0 1 lim ( ) n i i T i k f x  → = =   ( ) .  = b a k f x dx 性质1

性质2单1/(x)士8(x)=f(x)士(x)在 证 f(x)±g(x)x im∑f(5;)±g(5)△x ->0 =lim∑f(5)Ax1±im∑g(5)Ax b f(x)d±g(x)dx (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)

证   b a [ f (x) g(x)]dx i i i n i =  f  g x = → lim [ ( ) ( )] 1 0    i i n i =  f x = → lim ( ) 1 0   i i n i  g x = → lim ( ) 1 0   =  b a f (x)dx ( ) .   b a g x dx   b a [ f (x) g(x)]dx=  b a f (x)dx  b a g(x)dx . （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质2

性质3假设a<c<b f(x)dx=f(x)dx+.f(x)dx 补充:不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立 例若a<b<c S /(x)dx=f(x)dx+/(x)dc DU f()dx=S/(x)dx-f(x)dx f(x)dx+ f(x)dx. (定积分对于积分区间具有可加性)

 b a f (x)dx   = + b c c a f (x)dx f (x)dx. 补充：不论 a,b,c 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 a  b  c,  c a f (x)dx =  +  c b b a f (x)dx f (x)dx  b a f (x)dx =  −  c b c a f (x)dx f (x)dx ( ) ( ) .   = + b c c a f x dx f x dx （定积分对于积分区间具有可加性） 则 性质3 假设a  c  b

生质41.d=「dc=b-a 生质5如果在区间a,b上f(x)≥0, 则f(x)≥0.(a<b) 证f(x)≥0,…f(5)≥0,(2=1,2,…,n) Ax≥0,∴∑f(5,)Ax≥0, =max{△x1,△x2,…,△xn} imnf(5)Ax=f(x)d≥0

dx b a   1 dx b a = = b − a. 则 ( )  0  f x dx b a . (a  b) 证  f (x)  0,  ( )  0, i f (i = 1,2,  ,n)   0,  xi ( ) 0, 1      = i i n i f x max{ , , , }  = x1 x2  xn i i n i   f x = → lim ( ) 1 0   ( ) 0.  =  b a f x dx 性质4 性质5 如果在区间[a,b]上 f (x)  0

例1比较积分值e和xk的大小 解令f(x)=c-x,x∈|2,0 f(x)>0, (e-x)dx>0, r2e>厂t, 于是ed<xdc

例 1 比较积分值 e dx x  −2 0 和 xdx  −2 0 的大小. 解 令 f (x) e x, x = − x[−2, 0]  f (x)  0, ( ) 0, 0 2  −  − e x dx x e dx x −  0 2 , 0 2 xdx −  于是 e dx x  −2 0 . 2 0 xdx  − 

性质5的推论: 1)如果在区间a,b上f(x)≤g(x), 则f(x)x≤g(x)db.(a<b) 证 f(x)≤g(x),∴g(x)-f(x)≥0, g(x)-f(x)lbx≥0, , g(x)dx-f()dx 20, 于是f(x)x≤g(x)dx

性质5的推论： 证  f (x)  g(x),  g(x) − f (x)  0,  [ ( ) − ( )]  0,  g x f x dx b a ( ) − ( )  0,   b a b a g x dx f x dx 于是 f x dx b a ( ) g x dx b a  ( ) . 则 f x dx b a ( ) g x dx b a  ( ) . (a  b) （1） 如果在区间[a,b]上 f (x)  g(x)

性质5的推论: ()(x)k/)。(=b 证∵-(x)≤f(x)≤(x) rf()drs f(x)dxs,f(x)dx, 叫[/(xks(x)h 说明:f(x)在区间a,b1上的可积性是显然的

f x dx b a ( ) f x dx b a  ( ) . (a  b) 证  − f (x)  f (x)  f (x), f (x)dx f (x)dx f (x)dx, b a b a b a    −   即 f x dx b a ( ) f x dx b a  ( ) . 说明： | f (x)|在区间[a,b]上的 可积性是显然的. 性质5的推论： （2）

生质6设M及m分别是函数 f(x)在区间a,b上的最大值及最小值, 则m(b-a)≤f(xtsM(b-a 证 m≤f(x)≤M, r'mdxsl f()dx Mdr, m(b=a)≤f(x)bsM(b-a) (此性质可用于估计积分值的大致范围)

设M及m分别是函数 证  m  f (x)  M, ( ) ,       b a b a b a mdx f x dx Mdx m(b a) f (x)dx M(b a). b a −   −  （此性质可用于估计积分值的大致范围） 则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a −   −  . f (x)在区间[a,b]上的最大值及最小值， 性质6