西安石油大学：《数学分析 Mathematical Analysis》课程教学资源（PPT课件）第七章 定积分 7.3可积条件

973可积件 可积的必要条 二、可积的充要条件 可积函数类

一、可积的必要条 二、可积的充要条件 §7.3 可积条件 三、可积函数类

Riemann积分的定义 积分与分割、介点集的取法无关 几何意义(非负函数): 函数图象下方图形的面积。 其中 (R)I f(x)dx=lim ∑/(5Ax

Riemann积分的定义 积分与分割、介点集的取法无关 几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。 xi-1 xi i n i i T b a R f x dx =  f x  = → 1 || || 0 ( ) ( ) lim ( ) 其中 i i i i i i x x x x x    = − − − 1  1

可积的必要条件 定理72若函数f(x)在上可积,则f(x) 在a,b]上必有界 【证】反证法若函数/(x)在列上无界,对 于的任意分法 △:x0=a<x1<x2<…<xn=b 则至少存在一个子区间,不妨设为1x,x,f(x) 在 其上无界对于任取的5={5},注意到 (A5)2()/(x+2()Ax+4A2

一 可积的必要条件 定理 7.2 若函数 f (x) 在[a,b]上可积，则 f (x) 在[a,b]上必有界. 【证】 反证法 若函数 f x( )在a b,  上无界，对 于a b, 的任意分法 : 0 1 2 n x a x x x b =     = 则至少存在一个子区间，不妨设为 1 [ , ] i i x x − ， f x( )在 其上无界.对于任取的 { }k   = ，注意到 ( ) 1 1 1 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) n i n k k i i k k k k k k k i S f x f x f x f x      − = = = +  =  =  +  +     

If(S)Ax, 1-(2/()Ax+2/()Ax p k=1 f(5)△x|-A A=∑f()Ax+∑/(5)Ax 其中 于是对于任意取定的k ∈x11,x 5 k=1.2 i-1.i+1 因f(x)在xx上无界,对于任意给定 M>0彐5∈[x1,x 使得

1 1 1 ( ) ( ( ) ( ) ) i n i i k k k k k k i f x f x f x    − = = +  −  +  =   f x A (i i ) − 其中 1 1 1 ( ) ( ) i n k k k k k k i A f x f x   − = = + =  +    . 于是对于任意取定的 1 [ , ] k k k  x x  − ， k i i n = − + 1,2, , 1, 1, , . 因 f x( ) 在 1 [ , ] k k x x − 上 无 界 ， 对 于 任 意 给 定 M  0 1 [ , ] i i i  x x   − ，使得

f(5)≥ M+ 4 △ 可见对于[的的任意分法△,35=5},使得 S(△,5)≥/(5)△x-4 M+a °△x.-A=M △x 可见积分和S(△5)无界,从而函数(x)在[a, 上不可积,此与假设相矛盾 例1证明函数 f(x)={√x0<xs1 x=0 在[0,1]上不可积

( i ) k M A f x  +   可见对于a b, 的任意分法  ， { }  =  k ，使得 ( , ) ( i i i ) i M A S f x A x A M x   +    − =  − =  可见积分和S (, )无界，从而函数 f x( )在a b,  上不可积，此与假设相矛盾. 例 1 证明函数 ( ) 1 0 f x x   =    0 1 0 x x   = 在[0，1]上不可积

【证】将[0,1区间n等分,即取分法 k △:x=-,k=02122,……,n 72 取 k「k-1k ∈ 其中 n n k=2,3,…’,n,此时,相应的积分和 S(△ 2( )△ =1 11 2 n 4 7 72 72

【证】 将[0，1]区间 n 等分，即取分法 : , 0,1,2, , k k x k n n  = = ；取 { }   = k ， 其 中 1 4 1 1 0, n n    =      ， 1 , k k k k n n n    − =      ， k n = 2,3, , ，此时，相应的积分和 S (, ) ( ) 1 n k k k f x  = =  =  4 1 1 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n + + + =

n+-r(-+=+…+-=)→>0 n (a(△)->0) m 故 d(△)->0 不存在,从而(x)在[O.1上不可 注:该定理指出任何可积函数一定是有界,但要 注意的是:有界函数不一定可积 1,当x为有理数 例2证明秋利克雷函数D(x)= 0,当x为无理数 在[O,11上有界但不可积

1 1 1 1 ( ) 2 3 n n n + + + + →  ( ( ) 0) d  → 故 ( ) ( ) 0 lim , d S   →  不存在，从而 f x( ) 在0,1上不可 积. 注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要 注意的是：有界函数不一定可积. 例 2 证明狄利克雷函数    = 当 为无理数 当 为有理数 ， x x ， D x 0 1, ( ) 在[0，1] 上有界但不可积

【证】对于[O,1的任意分法 △ 0<x1<x0<…<x=1 根据有理数和无理数在数轴上的稠密性,在的没 有一个子区间上既有有理数,也有无理数 若取5=5},且5是[x,x]上的有理数,则积分和 S(△,∠)=2D(5Ax=2△x=1 k=1 若取5={5),且5k是x,x上的无理数,则积分和 S(△ ∑D(5)Ax=∑0.△x=0 5

【证】对于0,1的任意分法 : 0 1 2 0 1 n x x x x =     = 根据有理数和无理数在数轴上的稠密性，在0,1的没 有一个子区间上既有有理数，也有无理数 若取 { }k   = ，且 k  是 1 [ , ] k k x x − 上的有理数，则积分和 S ( = , ) ( ) 1 1 1 n n k k k k k D x x  = =    =  = 若取 { }  k   = ，且 k   是 1 [ , ] k k x x − 上的无理数，则积分和 S ( = , ) ( ) 1 1 0 0 n n k k k k k D x x  = =     =  =

imS(△)=1mS(A5)=0 从而“(△)→0 d(△)->0 ,根据定义 知,D(x)在[0上不可积 可积的的充要条件 要判断一个函数是否可积,由定义,可直接考 察积分和是否能无限接近某一常数,但由于积分和 的复杂性和那个常数不可预知,因此这是极其困难 的.下面即将出的可积准则只与被积函数本身有 关,而不涉及定积分的值

从 而 ( ) ( ) 0 lim , 1 d S   →  = ， ( ) ( ) 0 lim , 0 d S   →  =  ，根据定义 知， D x( ) 在0,1上不可积. 二 可积的的充要条件 要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考 察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和 的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难 的.下面即将出的可积准则只与被积函数本身有 关，而不涉及定积分的值

1.思路与方案: 思路:鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分 和.用相应于分法T的“最大”和“最小”的两个“积分 和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分 和有极限,且与分法T及介点5无关的条件 方案:定义上和S()和下和S(T).研究它们的性质 和当→0时有相同极限的充要条件 2.达布 Darboux1842~1917法国数学家)上和与下和的定 义

1.思路与方案: 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分 和. 用相应于分法T 的“最大”和“最小”的两个“积分 和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分 和有极限, 且与分法 T 及介点  i 无关的条件 . 方案: 定义上和 ( ) __ S T 和下和 s(T) . 研究它们的性质 和当 T → 0 时有相同极限的充要条件 . 2.达布(Darboux 1842～1917 法国数学家) 上和与下和的定 义