西安石油大学：《数学分析 Mathematical Analysis》课程教学资源（PPT课件）第八章 定积分的应用 8.5定积分在物理中的应用

§8.5定积分在物理上的应用

§8.5 定积分在物理上的应用

、变力沿直线所作的功 由物理学知道,如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力F作用在这物体上,且 这力的方向与物体的运动方向一致,那么,在 物体移动了距离s时,力F对物体所作的功为 W=F. 如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的,就不能直接使用此公式,而采用“元 法”思想

由物理学知道，如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且 这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在 物体移动了距离s时，力F 对物体所作的功为 W = F  s. 如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“元素 法”思想. 一、变力沿直线所作的功

例1把一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点 处,它产生一个电场.这个电场对周围的电荷有作用力由 物理学知道,如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原 点为r的地方,那么电场对它的作用力的大小为 F=k2(k是常数),当这个单位正电荷在电场中从 F=a处沿r轴移动到r=b处时,计算电场力F对 它所作的功

例 1 把一个带 + q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点 处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由 物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原 点为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为 2 r q F = k （k 是常数），当这个单位正电荷在电场中从 r = a 处沿 r 轴移动到 r = b 处时，计算电场力 F 对 它所作的功．

解取r为积分变量, q +dr r∈[a2bl 取任一小区间r,r+ml,功元素 dw ka dr, b b 所求功为w==kq a b 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 +0K0 idr= ke

解 取r 为积分变量， o r • + q  a  b • •• • • • • + 1 r r [a,b],  r + dr 取任一小区间[r,r + dr], , 2 dr r kq dw = dr r kq w b a = 2 b a r kq       = − 1 . 1 1       = − a b kq dr r kq w a + = 2 +       = − a r kq 1 . a kq = 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 所求功为 功元素

例2:一圆柱形蓄水池高为5米,底半径3米, 池内盛满了水问要把池内的水全部吸出, 需作多少功? 解建立坐标系如图 取为积分变量,x∈|0,5 取任一小区间x,x+dxl, x+dx

例 2 : 一圆柱形蓄水池高为 5 米，底半径 3 米， 池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出， 需作多少功？ x o x x + dx 取x为积分变量， x[0,5] 5 取任一小区间[x, x + dx], 解 建立坐标系如图

这一薄层水的重力为 9.8元·32dxc x+dx 功元素为d=8827:x 5 =88.2元·x·dx 2 =88.2 ≈3462(千焦) 2

x o x x + dx 5 这一薄层水的重力为 dx 2 9.8 3 dw = 88.2 x  dx, w =  x  dx  88.2 5 0 5 0 2 2 88.2       =  x  3462 (千焦)． 功元素为

例3用铁锤把钉子钉入木板,设木板对铁钉的 阻力与铁钉进入木板的深度成正比,铁锤在第 次锤击时将铁钉击入1厘米,若每次锤击所作 的功相等,问第次锤击时又将铁钉击入多少? 解设木板对铁钉的阻力为f(x)=kx 第一次锤击时所作的功为w=/x) k 2 设次击入的总深度为厘米 n次锤击所作的总功为2=fck

f (x) = kx, =  1 0 1 w f (x)dx , 2 k = ( ) . 0 = h wh f x dx 例3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的 阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第 一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作 的功相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？ 设 n 次击入的总深度为 h 厘米 n 次锤击所作的总功为 第一次锤击时所作的功为 解 设木板对铁钉的阻力为

kh 2 依题意知,每次锤击所作的功相等 h Wh=mw1→ 2 k-2 次击入的总深度为h=√n 第次击入的深度为n-n-1

=  h wh kxdx 0 , 2 2 kh = wh = nw1  2 2 kh , 2 k = n h = n, n − n − 1. n 次击入的总深度为 第 n 次击入的深度为 依题意知，每次锤击所作的功相等．

水压力 由物理学知道,在水深为h处的压强为 p=mh,这里y是水的比重.如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为处,那么,平板 侧所受的水压力为P=p·A 如果平板垂直放置在水中,由于水深不同 的点处压强p不相等,平板一侧所受的水压力 就不能直接使用此公式,而采用“元素法” 思想

由物理学知道，在水深为h 处的压强为 p = h，这里 是水的比重．如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h 处，那么，平板一 侧所受的水压力为P = p  A． 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同 的点处压强p不相等，平板一侧所受的水压力 就不能直接使用此公式，而采用“元素法” 思想． 二、水压力

例4一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水, 设桶的底半径为R,水的比重为,计算桶的一端面 上所受的压力 解在端面建立坐标系如图 取积分变量x∈0RE 取任一小区间[x,x+dbcl 小矩形片上各处的压强近 似相等P=xx, x+d 小矩形片的面积为2√R2-x2dx

例 4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水， 设桶的底半径为R，水的比重为 ，计算桶的一端面 上所受的压力． x o 取x为积分变量，x[0,R] 取任一小区间[x, x + dx] x x + dx 小矩形片上各处的压强近 似相等 小矩形片的面积为 2 . 2 2 R − x dx p = x, 解 在端面建立坐标系如图